（上册）第四讲 带余数的除法 标签：数的整除问题
<p>前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1，即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。</p><p>一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。</p><p>当r=0时，我们称a能被b整除。</p><p>当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≤r＜b。</p><p>例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。</p><p>分析 这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。</p><p>解：∵被除数÷除数=商…余数，</p><p>即被除数=除数×商+余数，</p><p>∴251=除数×商+41，</p><p>251-41=除数×商，</p><p>∴210=除数×商。</p><p>∵210=2×3×5×7，</p><p>∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。</p><p>例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？</p><p>解：∵被除数=除数×商+余数，</p><p>即被除数=除数×40+16。</p><p>由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，</p><p>∴（除数×40+16）+除数=877，</p><p>∴除数×41=877-16，</p><p>除数=861÷41，</p><p>除数=21，</p><p>∴被除数=21×40+16=856。</p><p>答：被除数是856，除数是21。</p><p>例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？</p><p>解：十月份共有31天，每周共有7天，</p><p>∵31=7×4+3，</p><p>∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。</p><p>∴这年的10月1日是星期四。</p><p>例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第2023天是星期几？</p><p>解：每周有7天，2023÷7=284（周）…5（天），</p><p>从星期日往回数5天是星期二，所以第2023天必是星期二.</p><p>例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。</p><p>这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”</p><p>关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：</p><p>方法1：2×70+3×21+2×15=233</p><p>233-105×2=23</p><p>符合条件的最小自然数是23。</p><p>例5 的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：</p><p>方法2：+2=23</p><p>23除以5恰好余3。</p><p>所以，符合条件的最小自然数是23。</p><p>方法2的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。</p><p>例6 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。</p><p>分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。</p><p>解：-2=28，即28适合前两个条件。</p><p>想：28+×？之后能满足“7除余1”的条件？</p><p>28+×4=148，148=21×7+1，</p><p>又148＜210=</p><p>所以，适合条件的最小的自然数是148。</p><p>例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。</p><p>解：想：2+3×？之后能满足“5除余3”的条件？</p><p>2+3×2=8。</p><p>再想：8+×？之后能满足“7除余4”的条件？</p><p>8+×3=53。</p><p>∴符合条件的最小的自然数是53。</p><p>归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。</p><p>解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。</p><p>例8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？</p><p>解：2+×1=37（个）</p><p>∵37除以3余1，除以5余2，除以7余2，</p><p>∴布袋中至少有小球37个。</p><p>例9 69、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。</p><p>分析 在解答此题之前，我们先来看下面的例子：</p><p>15除以2余1，19除以2余1，</p><p>即15和19被2除余数相同（余数都是1）。</p><p>但是19-15能被2整除.</p><p>由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数a和b，均被自然数m除，余数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被m整除。</p><p>反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。</p><p>例9可做如下解答：</p><p>∵三个整数被N除余数相同，</p><p>∴N｜（90-69），即N｜21，N｜（125-90），即N｜35，</p><p>∴N是21和35的公约数。</p><p>∵要求N的最大值，</p><p>∴N是21和35的最大公约数。</p><p>∵21和35的最大公约数是7，</p><p>∴N最大是7。</p>
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