数学学习乐园之一百二十九（有名字的数） 标签：速算与巧算
<p>回文数</p><p>这种数类似25 452，从前往后读与从后往前读皆相同，所以称为回文数(palindromic numbers)．</p><p>不要将一位数包括在内，最小的回文质数与最小的回文平方数是多少？其他还有多少小于2023的回文平方数？</p><p>在100与200之间有5个回文质数，它们是多少？在400与700之间为何没有回文质数？试证明在1 000与2 000之间的所有回文数有公因数．</p><p>过剩数、完全数与亏损数</p><p>考虑8这个数．其因数除8外，还有1、2、4，其和为7，小于8．因此之故，希腊数学家将8归类为过剩数(excessive number)．再如18这个数，其因数为1、2、3、6、9，和为21，所以是一种亏损数(defective number)．</p><p>有些数具有非常特殊的性质，能等于其因数之和．例如6，其因数为1、 2、 3．希腊人将这些数称为完全数(perfect num-ber)．</p><p>(1)将小于30的数以这3种性质分类．</p><p>(2)完全数相当少，且间隔很远．欧几里德证明当2n-1为质数时，任何形式为</p><p>2n-1(2n-1)</p><p>的数皆为完全数．</p><p>试找出使2n-1为质数的n值，以找到更多的完全数．</p><p>互满数</p><p>有一些成对的数具有相当奇妙的关联性，也就是其中一个数的因数和会等于另一个数．因这种两数之间存在“互利共生”的现象，数学家将它们命名为互满数(amicable pairs)．</p><p>最小的一对互满数为220与284．</p><p>220：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284</p><p>284：1+2+4+71+142=220</p><p>欧拉在研究过这种数之后，在2023年给出了60对互满数．但令人惊讶的是，他漏掉了第二小的一对，即1 184与1 210．直到2023年，才由一位16岁少年帕格尼尼(Paganini)发现了它们．试找出1 184与1 210的因数，并检验其密切的关联性．</p>
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