数学学习乐园之一百四十三（帕斯卡三角形） 标签：速算与巧算
<p>这个三角形的数字阵列称为“帕斯卡三角形”，或是“杨辉三角”，以纪念法国数学家与哲学家帕斯卡(Pascal)，以及中国数学家杨辉．你对这个三角形可能并不陌生，但究竟了解多少呢？</p><p>你能再给出下两行吗？</p><p>求出每一行的数字和，并推测第十二行的数字和．在许多情况下都会产生类似的数字形式，以下即介绍其中的几种，你可以亲自做个研究．</p><p><b>掷硬币</b></p><p>假设将一枚硬币掷4次，可能出现16种不同的组合方式，如上所示．其中第一栏为全是正面(H)，然后是3个正面、1个反面(T)，以此类推，直到没有正面出现为止．</p><p>如此所形成的数列与帕斯卡三角形的第五行相同．请研究将铜板掷2次、3次与5次的情形．</p><p><b>11的乘方</b></p><p>请问到了哪一个阶段才会脱离帕斯卡三角形的形式？为什么？</p><p><b>六边形迷宫</b></p><p>16只老鼠跑进如图所示的六边形迷宫中，到了叉路，一半走一条路，另一半走另一条路．</p><p>请问从p、q、r、s与t离开迷宫的老鼠各是多少只？将进入迷宫的老鼠增为32只，并再往下计算一步．</p><p><b>纽约街道的最短路径</b></p><p>纽约的街道形成如下所示的长方形网络．</p><p>由起点到A，最短的路径是走直线，而且没有其他相同长度的走法．</p><p>可是由起点到B，共有6种不同的走法，向右需走两格，向下需走两格．图中已经表示出从起点到部分街道交点最短路径的数目，请将缺漏的补上．你能从中看出帕斯卡三角形的形式吗？</p><p><b>彩色积木</b></p><p>找一些长度为1、2、3、4、5且不同颜色的积木块．上图所示为用积木堆出长度4的所有8种可能方式．</p><p>用1块积木只有1种方式．</p><p>用2块积木有3种方式．</p><p>用3块积木也有3种方式．</p><p>用4块积木只有1种方式．</p><p>试考虑堆出长度5的各种方式．</p><p><b>二项式</b></p><p><font face="宋体" lang="ZH-CN" size="2">0</font><font face="宋体" lang="ZH-CN">=1</font></p><p><font face="宋体" lang="ZH-CN" size="2">1</font><font face="宋体" lang="ZH-CN">=1+a</font></p><p><font face="宋体" lang="ZH-CN" size="2">2</font><font face="宋体" lang="ZH-CN">=1+2a+a</font><font face="宋体" lang="ZH-CN" size="2">2</font></p><p><font face="宋体" lang="ZH-CN" size="2">3</font><font face="宋体" lang="ZH-CN">=1+3a+3a</font><font face="宋体" lang="ZH-CN" size="2">2</font><font face="宋体" lang="ZH-CN">+a</font><font face="宋体" lang="ZH-CN" size="2">3</font></p><p><font face="宋体" lang="ZH-CN" size="2">4</font><font face="宋体" lang="ZH-CN">=1+4a+6a</font><font face="宋体" lang="ZH-CN" size="2">2</font><font face="宋体" lang="ZH-CN">+4a</font><font face="宋体" lang="ZH-CN" size="2">3</font><font face="宋体" lang="ZH-CN">+a</font><font face="宋体" lang="ZH-CN" size="2">4</font></p><p><font face="宋体" lang="ZH-CN" size="2">n</font></p><p><font face="宋体" lang="ZH-CN"> </font></p>
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