小学三年级奥数趣题――多阶形式 标签：速算与巧算
<p><strong>小学三年级奥数趣题</strong></p><p><strong></strong></p><p>图1中的幻方满足</p><p>8+1+6=4+9+2</p><p>但你可能没有注意到另一种特性：</p><p>82+12+62=42+92+22</p><p>同样的，</p><p>8+3+4=6+7+2</p><p>且</p><p>82+32+42=62+72+22</p><p>其他3×3幻方是否具有同样的性质？再检查一下图2与图3中幻方外侧的行(或列)中的数字平方和是否相等．这是否恒为真？</p><p>诸如此类，数字和与乘方的和都相等的一组数字，可称为多阶形式(multigrades)．前面所讨论的都是二阶形式，下面则是三阶形式的一个例子：</p><p>1+5+8+12=2+3+10+11</p><p>12+52+82+122=22+32+102+112</p><p>13+53+83+123=23+33+103+113</p><p>或许你会以为要找到具有这种性质的数字很困难，其实并非如此．</p><p>假设我们把上一个例子中的每一个数字加上2，则</p><p>3+7+10+14=4+5+12+13</p><p>不只如此，</p><p>32+72+102+142=42+52+122+132</p><p>而且</p><p>33+73+103+143=43+53+123+133</p><p>请研究加上其他数字的结果．但我们究竟要如何找出多阶形式？先从简单的等式开始：</p><p>1+5=2+4</p><p>如将各项加5：</p><p>6+10=7+9</p><p>将等号两边交叉合并，就可以形成二阶形式：</p><p>1+5+7+9=2+4+6+10</p><p>12+52+72+92=22+42+62+102</p><p>加至每一项的数字5，是使所有多阶形式中的数字都不相同的最小数字．形成三阶形式的方法也是一样，不过也是以二阶形式为基础的．</p><p>将10加至上式各项即得：</p><p>11+15+17+19=12+14+16+20</p><p>然后两边交叉合并，就可以得到：</p><p>1n+5n+7n+9n+12n+14n+16n+20n</p><p>=2n+4n+6n+10n+11n+15n+17n+19n</p><p>其中n=1、2或3．用你的计算器来验算是否正确．</p><p>假设以下式开始：</p><p>1+5=2+4</p><p>然后各项加4，而不是加5，这时二阶形式所包含的数字为：</p><p>(1，5，6，8)与(2，4，5，9)</p><p>而这可减少为</p><p>(1，6，8)和(2，4，9)</p><p>因5为相同的数字．</p><p>事实上，这就是开始时所介绍的3×3幻方中的数字．</p><p>现在将这些数字加上5，并利用前述交叉合并的程序，即可得出三阶形式：</p><p>(1，6，8，7，9，14)与(2，4，9，6，11，13)</p><p>但6和9为共同的部分，故将它们去掉．这样，我们得到：</p><p>1+8+7+14=2+4+11+13</p><p>12+82+72+142=22+42+112+132</p><p>13+83+73+143=23+43+113+133</p><p>试着设计出你自己的多阶形式．只要重复上述的程序，你也可以轻易地作出四阶、五阶或更高阶的形式．</p>
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