二年级上册第三讲 数数与计数（二） 标签：数数与计数
<p>例1 数一数，图3－1中共有多少点？</p><p>解：（1）方法1：如图3－2所示从上往下一层一层数：</p><p>第一层 1个</p><p>第二层 2个</p><p>第三层 3个</p><p>第四层 4个</p><p>第五层 5个</p><p>第六层 6个</p><p>第七层 7个</p><p>第八层 8个</p><p>第九层 9个</p><p>第十层 10个</p><p>第十一层 9个</p><p>第十二层 8个</p><p>第十三层 7个</p><p>第十四层 6个</p><p>第十五层 5个</p><p>第十六层 4个</p><p>第十七层 3个</p><p>第十八层 2个</p><p>第十九层 1个</p><p>总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1</p><p>=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）</p><p>=55+45=100（利用已学过的知识计算）.</p><p>（2）方法2：如图3－3所示：从上往下，沿折线数</p><p>第一层 1个</p><p>第二层 3个</p><p>第三层 5个</p><p>第四层 7个</p><p>第五层 9个</p><p>第六层 11个</p><p>第七层 13个</p><p>第八层 15个</p><p>第九层 17个</p><p>第十层 19个</p><p>总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）.</p><!--分页--><p>（3）方法3：把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示的样子，变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×10=100（个）.</p><p>想一想：</p><p>①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋.</p><p>②由方法1和方法3得出下式：</p><p>1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10</p><p>即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想：</p><p>1=1×1</p><p>1+2+1=2×2</p><p>1+2+3+2+1=3×3</p><p>1+2+3+4+3+2+1=4×4</p><p>1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5</p><p>1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6</p><p>1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7</p><p>1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8</p><p>1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9</p><p>1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10</p><p>这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多.</p><p>同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就发现了一条规律.</p><p>③由方法2和方法3也可以得出下式：</p><p>1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.</p><p>即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想：</p><p>1+3=2×2</p><p>1+3+5=3×3</p><p>1+3+5+7=4×4</p><p>1+3+5+7+9=5×5</p><p>1+3+5+7+9+11=6×6</p><p>1+3+5+7+9+11+13=7×7</p><p>1+3+5+7+9+11+13+15=8×8</p><p>1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9</p><p>1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10</p><p>还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，如果正确，我们就又发现了一条规律.</p><p>例2 数一数，图3－5中有多少条线段？</p><p>解：（1）我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点的线段有：</p><p>AB AC AD AE AF 5条.</p><p>以B点为共同左端点的线段有：</p><p>BC BD BE BF 4条.</p><p>以C点为共同左端点的线段有：</p><p>CD CE CF 3条.</p><p>以D点为共同左端点的线段有：</p><p>DE DF 2条.</p><p>以E点为共同左端点的线段有：</p><p>EF1条.</p><p>总数5+4+3+2+1=15条.</p><p>（2）用图示法更为直观明了.见图3－6.</p><p>总数5+4+3+2+1=15（条）.</p><p>想一想：①由例2可知，一条大线段上有六个点，就有：总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律（见图3－7）：</p><p>还可以一直做下去.总之，线段总条线是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比总数小1.我们又发现了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系.</p><!--分页--><p>②上面的事实也可以这样说：如果把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么一条大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是：</p><p>线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数（见图3－8）.基本线段数 线段总条数</p><p>还可以一直写下去，同学们可以自己试试看.</p><p>例3 数一数，图3－9中共有多少个锐角？</p><p>解：（1）我们知道，图中任意两条从O点发出的射线都组成一个锐角.</p><p>所以，以OA边为公共边的锐角有：</p><p>∠LAOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，</p><p>∠AOF共5个.</p><p>以OB边为公共边的锐角有：∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠BOF共4个.</p><p>以OC边为公共边的锐角有：∠COD，∠COE，∠COF共3个.以OD边为公共边的锐角有：∠DOE，∠DOF共2个.以OE边为一边的锐角有：∠EOF只1个.</p><p>锐角总数5+4+3+2+1＝15（个）.</p><p>②用图示法更为直观明了：如图3－10所示，锐角总数为：5+4+3+2+1=15（个）.</p><p>想一想：①由例3可知：由一点发出的六条射线，组成的锐角的总数=5+4+3+2+1（个），由此猜想出如下规律：（见图3－11～15）</p><p>两条射线1个角（见图3－11）</p><p>三条射线2+1个角（见图3－12）</p><p>四条射线3+2+1个角（见图3－13）</p><p>五条射线4+3+2+1个角（见图3－14）</p><p>六条射线5+4+3+2+1个角（见图3－15）</p><p>总之，角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比射线数小1.</p><p>②同样，也可以这样想：如果把相邻两条射线构成的角叫做基本角，那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关系是：</p><p>角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本角个数.</p><p>③注意，例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段的，例3是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表达式.同学们可以看出，一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力.</p>
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