二年级奥数知识点：数与形相映 标签：速算与巧算
<p>形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了.古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子.</p><p><strong>例1 </strong>最初的数和最简的图相对应.</p><p>这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的.</p><p><strong>例2 </strong>我国在春秋战国时代就有了“洛图”(见下图).图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示.你能把这张图用自然数写出来吗?见下图所示，这个图又叫九宫图.</p><p><strong>例3</strong> 古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘.比如他把1，3，6，10，15，…叫做三角形数.因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图.</p><p>毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律，发现每一个三角形数，都可以写成从1开始的n个自然数之和，最大的自然数就是三角形底边圆点的个数.</p><p>第一个数：1=1</p><p>第二个数：3=1+2</p><p>第三个数：6=1+2+3</p><p>第四个数：10=1+2+3+4</p><p>第五个数：15=1+2+3+4+5</p><p>…</p><p>第n个数：1+2+3+4+5+…+n</p><p>指定的三角形数.比如第100个三角形数是：</p><p><strong>例4</strong> 毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图.因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形，因此它们最受</p><p>毕达哥拉斯及其弟子推崇.</p><p>第一个数：1=12=1</p><p>第二个数：4=22=1+3</p><p>第三个数：9=32=1+3+5</p><p>第四个数：16=42=1+3+5+7</p><p>第五个数：25=52=1+3+5+7+9</p><p>…</p><p>第n个数：n2=1+3+5+9+…+(2n-1).</p><p>四角形数(又叫正方形数)可以表示成自然数的平方，也可以表示成从1开始的几个连续奇数之和.奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数.</p><p><strong>例5</strong> 类似地，还有四面体数见下图.</p><p>仔细观察可发现，四面体的每一层的圆点个数都是三角形数.因此四面体数可由几个三角形数相加得到：</p><p>第一个数：1</p><p>第二个数：4=1+3</p><p>第三个数：10=1+3+6</p><p>第四个数：20=1+3+6+10</p><p>第五个数：35=1+3+6+10+15.</p><p><strong>例6</strong> 五面体数，见下图.</p><p>仔细观察可以发现，五面体的每一层的圆点个数都是四角形数，因此五面体数可由几个四角形数相加得到：</p><p>第一个数：1=1</p><p>第二个数：5=1+4</p><p>第三个数：14=1+4+9</p><p>第四个数：30=1+4+9+16</p><p>第五个数：55=1+4+9+16+25.</p><p><strong>例7</strong> 按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重要的公式.</p><p>由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系.</p><p>方法1：先算空心点，再算实心点：</p><p>22+2×2+1.</p><p>方法2：把点图看作一个整体来算32.</p><p>因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：</p><p>22+2×2+1=32.</p><p>方法1：先算空心点，再算实心点：</p><p>32+2×3+1.</p><p>方法2：把点图看成一个整体来算：42.</p><p>因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：</p><p>32+2×3+1=42.</p><p>方法1：先算空心点，再算实心点：</p><p>42+2×4+1.</p><p>方法2：把点图看成一个整体来算52.</p><p>因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：</p><p>42+2×4+1=52.</p><p>把上面的几个等式连起来看，进一步联想下去，可以猜到一个一般的公式：</p><p>22+2×2+1=32</p><p>33+2×3+1=42</p><p>42+2×4+1=52</p><p>…</p><p>n2+2×n+1=(n+1)2.</p><p>利用这个公式，也可用于速算与巧算.</p><p>如：92+2×9+1=(9+1)2=102=100</p><p>992+2×99+1=(99+1)2</p><p>=2023=20230.</p><p>西安优学秋季班三-新初一招生简章</p>
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