计数问题之递推法例题讲解4 标签：递推法
<p><strong>例题：</strong> 平面上有10个圆，最多能把平面分成几部分？</p><p><strong>分析与解答：</strong></p><p>直接画出10个圆不是好办法，先考虑一些简单情况。</p><p>一个圆最多将平面分为2部分；</p><p>二个圆最多将平面分为4部分；</p><p>三个圆最多将平面分为8部分；</p><p>当第二个圆在第一个圆的基础上加上去时，第二个圆与第一个圆有2个交点，这两个交点将新加的圆弧分为2段，其中每一段圆弧都将所在平面的一分为二，所以所分平面部分的数在原有的2部分的基础上增添了2部分。因此，二个圆最多将平面分为2＋2＝4部分。</p><p>同样道理，三个圆最多分平面的部分数是二个圆分平面为4部分的基础上增加4部分。因此，三个圆最多将平面分为2＋2＋4＝8部分。</p><p>由此不难推出：画第10个圆时，与前9个圆最多有9×2＝18个交点，第10个圆的圆弧被分成18段，也就是增加了18个部分。因此，10个圆最多将平面分成的部分数为：</p><p>2＋2＋4＋6＋…＋18</p><p>＝2＋2×（1＋2＋3＋…＋9）</p><p>＝2＋2×9×（9＋1）÷2</p><p>＝92</p><p>类似的分析，我们可以得到，n个圆最多将平面分成的部分数为：</p><p>2＋2＋4＋6＋…＋2（n－1）</p><p>＝2＋2×</p><p>＝2＋n（n－1）</p><p>＝n2－n＋2</p>
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