计数之归纳法练习8 标签：归纳法
<p>解答题</p><p>2.用数学归纳法证明:自然数m,n对任何的3≤m≤n均有差数列.</p><p>3.求证:当n为正奇数时7n+1能被8整除.自然数n,f(n)>n.</p><p>a3,a4,并推测出{an}的通项公式,用数学归纳法加以证明.</p><p>求a2,a3,a4,并推测an的表达式,用数学归纳法证明所得结论.</p><p>答案：</p><p>成立.时,多了一个顶点,该顶点与原k边形中的(k-2)个顶点可连成(k-2)条对角线,而原来的一条边也变成对角线,故(k+1)边形比k边形增多了(k-1)条对角线</p><p>说明 本题也可用排列组合的方法证明</p><p>4(a1-a2)(a2-a3)=(a1-a3)2</p><p>即 (a1+a3-2a2)2=0 ∴a1+a3=2a2 ∴命题成立;</p><p>②假设n=k(k≥3)时命题成立,即对于任何</p><p>a1,a2,…,an成等差数列</p><p>则当n=k+1时,由归纳假设a1,a2,…,ak成等差数列,设公差为d</p><p>令 ak+1-ak=m</p><p>去分母化简得 m2+d2-2dm=0</p><p>于是m=d 即ak+1-ak=d</p><p>∴a1,a2,a3,…,ak,ak+1成等差数列</p><p>故对任何n∈N命题成立.</p><p>3.(1)n=1时,71+1=8能被8整除;</p><p>(2)假设n=k(k为正奇数)时7k+1能被8整除(设7k+1=8M,M∈N)</p><p>则当n=k+1时</p><p>7k+2+1=72·7k+72-72+1=72(7k+1)-48</p><p>=49×8m-8×6=8(49M-6)</p><p>∵49M-6∈N ∴命题成立.</p><p>4.(1)当n=2时,</p><p>(2)假设n=k(k≥2)不等式成立</p><p>因此 f(k+1)> f(k)+1> k+1.</p><p>(2)假设n=k时,不等式成立</p><p>∴ n=k+1时不等式亦成立</p><p>由(1),(2)可知对一切n∈N不等式都成立.</p><p>证明(1)当n=1时,等式成立;</p><p>证明略</p>
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