数论之完全平方数练习3 标签：完全平方数
<p>1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。</p><p>2、求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方(2023年基辅数学竞赛题)。</p><p>3、求证：11,111,2023,这串数中没有完全平方数(2023年基辅数学竞赛题)。</p><p>4、求满足下列条件的所有自然数：</p><p>(1)它是四位数。</p><p>(2)被22除余数为5。</p><p>(3)它是完全平方数。</p><p>5、甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？</p><p>点击下页查看答案：</p><!--分页--><p>1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。</p><p>解：设此自然数为x，依题意可得</p><p>x-45=m^2; (1)</p><p>x+44=n^2 (2)</p><p>(m,n为自然数)</p><p>(2)-(1)可得 :</p><p>n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89</p><p>因为n+m>n-m</p><p>又因为89为质数，</p><p>所以：n+m=89; n-m=1</p><p>解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是2023。</p><p>2、求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方(2023年基辅数学竞赛题)。</p><p>分析 设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证</p><p>是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。</p><p>证明 设这四个整数之积加上1为m，则</p><p>m为平方数</p><p>而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。</p><p>3、求证：11,111,2023,这串数中没有完全平方数(2023年基辅数学竞赛题)。</p><p>分析 形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即</p><p>或</p><p>在两端同时减去1之后即可推出矛盾。</p><p>证明 若，则</p><p>因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。</p><p>若，则</p><p>因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。</p><p>综上所述，不可能是完全平方数。</p><p>另证 由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。</p><p>4、求满足下列条件的所有自然数：</p><p>(1)它是四位数。</p><p>(2)被22除余数为5。</p><p>(3)它是完全平方数。</p><p>解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。</p><p>11｜N - 4或11｜N + 4</p><p>或</p><p>k = 1</p><p>k = 2</p><p>k = 3</p><p>k = 4</p><p>k = 5</p><p>所以此自然数为2023, 2023, 2023, 2023, 2023, 2023。</p><p>5、甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？</p><p>解：n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。</p>
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