《孙子算经》运用中国剩余定理巧妙解题 标签：中国剩余定理
<p>我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”这里的几何指多少的意思。翻译成数学语言就是：求正整数N，使N除以3余2，除以5余3，除以7余2。</p><p>如何求符合上述条件的正整数N呢？《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。一百六以上，一百五减之，即得。”</p><p>过了一千多年，到了十六世纪，数学家程大位在他所著的《算法统宗》里把这个问题的解法用歌诀形式表述出来。三人同行七十稀， 五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得之。</p><p>歌诀的前三句给出了三组数，后一句给出了一个数：</p><p>3 70</p><p>5 21</p><p>7 15</p><p>105</p><p>三组数的共同特征是：</p><p>70除以3余1，除以5、7余0； 21除以5余1，除以3、7余0； 15除以7余1，除以3、5余0。</p><p>首先程大位把不同的余数问题统一化为标准的余数问题。然后，他把复杂难解的问题化解为三个易解的问题。70、21、15分别是满足第一、二、三行条件的最小解。</p><p>2×70满足原题第一个余数条件，且被5、7整除。</p><p>3×21满足原题第二个余数条件，且被3、7整除。</p><p>2×15满足原题第三个余数条件，且被3、5整除。</p><p>统统相加得和：N=2×70+3×21+2×15=233。</p><p>N必然满足原题所有三个余数条件。但N不一定是最小的。歌诀最后一句“除百零五便得知”，这里“除”的意思是“减”，意即从233中减去3、5、7的最小公倍数105的倍数便得到23。这个23就是问题的最小解。这最后一句也可以理解为N除以105的余数就是问题的最小解。</p>
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