关于分解质因数的例题讲析 标签：质数合数
<p><strong>关于分解质因数的例题讲析</strong></p><p>通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。</p><p>分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。</p><p>*例1ABC×D=2023，在这个乘法算式中，A、B、C、D代表不同的数字，ABC是一个三位数。求ABC代表什么数？（适于六年级程度）</p><p>解：因为ABC×D=2023，ABC是一个三位数，所以可把2023分解质因数，然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是ABC所代表的数。</p><p>2023=239×7</p><p>答：ABC代表239。</p><p>例2 一块正方形田地，面积是2023平方米，这块田地的周长是多少米？（适于六年级程度）</p><p>解：先把2023分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数，每组质因数的积就是正方形的边长。</p><p>2023=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3</p><p>=（2×2×2×2×3）×（2×2×2×2×3）</p><p>=48×48</p><p>正方形的边长是48米。</p><p>这块田地的周长是：</p><p>48×4=192（米）</p><p>答略。</p><p>*例3 有2023个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个。已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。求这个幼儿园有多少名小朋友？（适于六年级程度）</p><p>解：2023-10=2023（个）</p><p>把2023分解质因数：</p><p>2023=23×34×5</p><p>接近40的数有36、37、38、39</p><p>这些数中36=22×32，所以只有36是2023的约数。</p><p>23×34×5÷（22×32）</p><p>=2×32×5</p><p>=90</p><p>答：这个幼儿园有90名小朋友。</p><p>*例4 105的约数共有几个？（适于六年级程度）</p><p>解：求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积……逐一由小到大写出，再求出它的个数即可。</p><p>因为，105=3×5×7，</p><p>所以，含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个；</p><p>含有两个质数的乘积的约数有3×5、3×7、5×7共3个；</p><p>含有三个质数的乘积的约数有3×5×7共1个。</p><p>所以，105的约数共有4+3+1=8个。</p><p>答略。</p><p>*例5 把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组，使每组三个数的乘积都相等。这三组数分别是多少？（适于六年级程度）</p><p>解：将这九个数分别分解质因数：</p><p>15=3×5</p><p>22=2×11</p><p>30=2×3×5</p><p>35=5×7</p><p>39=3×13</p><p>44=2×2×11</p><p>52=2×2×13</p><p>77=7×11</p><p>91=7×13</p><p>观察上面九个数的质因数，不难看出，九个数的质因数中共有六个2，三个3，三个5，三个7，三个11，三个13，这样每组中三个数应包括的质因数有两个2，一个3，一个5，一个7，一个11和一个13。</p><p>由以上观察分析可得这三组数分别是：</p><p>15、52和77；</p><p>22、30和91；</p><p>35、39和44。</p><p>答略。</p><p>*例6 有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们的年龄数相乘的积是2023。四个学生的年龄分别是几岁？（适于六年级程度）</p><p>解：把2023分解质因数：</p><p>2023=2×2×2×2×3×3×5×7</p><p>由于四个学生的年龄一个比一个大1岁，所以他们的年龄数就是四个连续自然数。用八个质因数表示四个连续自然数是：</p><p>7，2×2×2，3×3，2×5</p><p>即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。</p><p>答略。</p><p>*例7 在等式35×（ ）×81×27=7×18×（ ）×162的两个括号中，填上适当的最小的数。（适于六年级程度）</p><p>解：将已知等式的两边分解质因数，得：</p><p>5×37×7×（ ）=22×36×7×（ ）</p><p>把上面的等式化简，得：</p><p>15×（ ）=4×（ ）</p><p>所以，在左边的括号内填4，在右边的括号内填15。</p><p>15×（4）=4×（15）</p><p>答略。</p><p>*例8 把84名学生分成人数相等的小组（每组最少2人），一共有几种分法？（适于六年级程度）</p><p>解：把84分解质因数：</p><p>84=2×2×3×7</p><p>除了1和84外，84的约数有：</p><p>2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，2×3×7=42。下面可根据不同的 约数进行分组。 84÷2=42（组），84÷3=28（组），84÷4=21（组），84÷6=14（组），84÷7=12（组），84÷12=7（组），84÷14=6（组），84÷21=4（组），84÷28=3（组），84÷42=2（组）。</p><p>因此每组2人分42组；每组3人分28组；每组4人分21组；每组6人分14组；每组7人分12组；每组12人分7组；每组14人分6组；每组21人分4组；每组28人分3组；每组42人分2组。一共有10种分法。</p><p>答略。</p><p>*例9 把14、30、33、75、143、169、2023、2023这八个数分成两组，每组四个数，要使各组数中四个数的乘积相等。求这两组数。（适于六年级程度）</p><p>解：要使两组数的乘积相等，这两组乘积中的每个因数不必相同，但这些因数经分解质因数，它们所含有的质因数一定相同。因此，首先应把八个数分解质因数。</p><p>14=2×7143=11×13</p><p>30=2×3×5 169=13×13</p><p>33=3×11 2023=5×7×127</p><p>75=3×5×5 2023=3×13×127</p><p>在上面的质因式中，质因数2、7、11、127各有2个，质因数3、5、13各有4个。</p><p>在把题中的八个数分为两组时，应使每一组中的质因数2、7、11、127各有1个，质因数3、5、13各有2个。</p><p>按这个要求每一组四个数的积应是：</p><p>2×7×11×127×3×3×5×5×13×13</p><p>因为，（2×7）×（3×5×5）×（11×13）×（3×13×127）=14×75×143×2023，根据接下来为“14、75、 143、2023”正符合题意，因此，要求的一组数是14、75、143、2023，另一组的四个数是：30、33、169、2023。</p><p>答略。</p><p>*例10 一个长方形的面积是315平方厘米，长比宽多6厘米。求这个长方形的长和宽。（适于五年级程度）</p><p>解：设长方形的宽为x厘米，则长为（x+6）厘米。根据题意列方程，得：</p><p>x（x+6）= 315</p><p>x（x+6）=3×3×5×7</p><p>=（3×5）×（3×7）</p><p>x（x+6）=15×21</p><p>x（x+6）=15×（15+6）</p><p>x=15</p><p>x+6=21</p><p>答：这个长方形的长是21厘米，宽是15厘米。</p><p>*例11 已知三个连续自然数的积为210，求这三个自然数各是多少？（适于五年级程度）</p><p>解：设这三个连续自然数分别是x-1，x，x+1，根据题意列方程，得：</p><p>（x-1）×x×（x+1）</p><p>=210</p><p>=21×10</p><p>=3×7×2×5</p><p>=5×6×7</p><p>比较方程两边的因数，得：x=6，x-1=5，x+1=7。</p><p>答：这三个连续自然数分别是5、6、7。</p><p>*例12 将37分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为2023，并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12，求甲、乙、丙各是几？（适于六年级程度）</p><p>解：把2023分解质因数：</p><p>2023= 12×12×10</p><p>=2×2×3×2×2×3×2×5</p><p>=（2×2×2）×（3×3）×（2×2×5）</p><p>=8×9×20</p><p>如果甲、乙二数分别是8、9，丙数是20，则：</p><p>8×9=72，</p><p>20×3+12=72</p><p>正符合题中条件。</p><p>答：甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。</p><p>*例13 一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：“你们是否发现在你们中间，大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和？”儿子们齐声回答说：“是的，我们的年龄和您年龄的乘 积，等于您儿子人数的立方乘以2023加上您儿子人数的平方乘以10。”从这次谈话中，你能否确定母亲在多大时，才生下第二个儿子？（适于六年级程度）</p><p>解：由题意可知，母亲有三个儿子。母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于：</p><p>33×2023+32×10=20230</p><p>把20230分解质因数：</p><p>20230=43×7×5×32×2</p><p>根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”，重新组合上面的质因式得：</p><p>43×14×9×5</p><p>这个质因式中14就是9与5之和。</p><p>所以母亲43岁，大儿子14岁，二儿子9岁，小儿子5岁。</p><p>43-9=34（岁）</p><p>答：母亲在34岁时生下第二个儿子。</p>
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