溜溜球的力学原理
<p>摘要:本文阐述了溜溜球的力学原理,并对其运动过程进行了系统的理论分析,从中得出其平动为匀变速垂直运动,转动是匀变速转动。若考虑到转向时平动动能的损失及空气阻尼和细绳摩擦阻力的作用损失的机械能,实际操作中需要及时给予补充。</p><p>关键词:溜溜球;平动;转动;转向</p><p>溜溜球发源于美国,近年来风行于我国青少年学生,许多人都为其能够/自动上爬0而感到神秘莫测,大学生们也深感好奇,爱不释手。然而,如果老师能够抓住时机,正确地加以引导,让同学们利用已学过的力学知识分析其中的原理,学生的学习兴趣将会上升到一个新的高度,对于培养学生研究实际问题!解决实际问题的能力也大有益处。真可谓乐学之道。下面笔者就对溜溜球的力学原理及运动过程进行一些分析。</p><p>1构造</p><p>图1为溜溜球的构造图,一对薄片圆盘,直径一般为58-65mm,厚为3mm,塑料或硬卡纸制成;中间为一段圆柱状空芯薄壁中轴,直径一般为8mm,长约为3mm。圆盘粘在中轴两侧,然后在轴上中点处钻一小孔,系上1m长细绳,并在细绳的另一端系上圆环。</p><p>2游戏</p><p>游戏时,把细绳全部紧紧地缠绕在中轴上,用某一手指套住圆环。将溜溜球释放后它就会马上逆细绳缠绕方向转动,竖直下落逐渐解脱细绳的缠绕,直到细绳全部展开为止。随后,它又会自动顺着同一转动方向往上爬,使细绳重新缠绕在中轴上。当溜溜球停止转动后,随即又沿反方向摆脱细绳缠绕转动下落,然后上爬。下落,上爬,周而复始。只要制作得法,摆弄灵巧,溜溜球就会不停地转动起来,饶有趣味。</p><p>3建立理想模型</p><p>中轴为一空芯薄壁圆柱,半径为r,质量为m1,中轴两侧为一对薄片圆盘,半径为R,每个圆盘的质量为m2。设溜溜球的整体质量为m,则有</p><p>m=m1+2m2(1)</p><p>溜溜球对通过其质心C的转轴z的转动惯量J为</p><p>J=m1r2+2m2R2/2=m1r2+m2R2(2)</p><p>为了分析方便,1、假设溜溜球下落的初始速度为Vco=0,初始转速度ω0=0;2、假设细绳是完全弹性体(即不考虑球体转向时平动动能的损失);3、暂不考虑空气的阻尼和细绳的摩擦阻力;4、忽略细绳的质量。</p><p>4进行理论分析</p><p>溜溜球的运动可看成整个球体随质心C在垂直方向上的平动和绕通过质心的转轴Z的转动的迭加。如图2所示,假设溜溜球在“上爬下走”过程中,细绳的张力为T,重力加速度为g,质心加速度为ac,转体所受合外力矩为Mc,角加速度为B.对于平动由质心运动定律得,</p><p>mac=mg-T(3)</p><p>对于转动由转动定律得,</p><p>Mc=JB=Tr(4)</p><p>因为溜溜球在运动过程中仅有转动,所以其质心加速度ac与中轴和细绳切点处的切向加速度at相等,</p><p>即ac=at.由于at=rB,故有,ac=rB(5)</p><p>联立(4)(5)消去B,得</p><p>把(6)代入(3),整理得</p><p>把(7)代入(5),得</p><p>如图3所示,根据S=12at2可计算出溜溜球单程</p><p>运动所需要的时间t为,</p><p>式中H为溜溜球单程运动的高度。</p><p>根据v2-v02=2as可计算出质心C下落的速度vc为,</p><p>式中h为溜溜球下落的高度。</p><p>因为vc=vt=rω,式中vt为中轴与细绳切点处的切向速度,X为溜溜球转动的角速度。故有</p><p>溜溜球下落过程中的平动动能和转动动能分别为</p><p>因此,溜溜球下落过程中的动能为,</p><p>由图3可以看出,溜溜球的重力势能为,</p><p>W势=mg(H-h)(15)</p><p>因此,W动+W势=mgH=const.(16)</p><p>把(10)(11)(12)(13)(14)(15)中的h换成（H-h）即可得到溜溜球上爬过程中的Vc、ω、mvc2/2、</p><p>Jω2/2、W动、W势,由此可得到(16)。</p><p>(7)(8)(9)(10)(11)说明,溜溜球的垂直加速ac,速度Vc,运动时间t和转动角加速度B,角速度X仅仅取决于它的质量m,转动惯量J和中轴半径r。可见,利用不同材料(改变m),不同中轴(改变r)和不同造型(改变J)就可制作出不同类型的溜溜球。</p><p>从(7)式可知,对于某一溜溜球来说,m,r,J都是确定不变的,即</p><p>的大小是确定不变的。因此,溜溜球的平动是匀变速垂直运动。同理,由(8)式可知,溜溜球的转动是匀变速转动。</p><p>(16)式说明,溜溜球在/上爬下走0运动过程中总机械能是守恒的。</p><p>5对实际运动过程的分析</p><p>当溜溜球自由释放后,立即开始逆缠绕方向竖直下落,重力势能逐渐转换成平动动能和转动动能,随着重力势能的减少,下落的速度越来越快,转动的速度也越来越快。当细绳全部展开后,下落速度和转动速度达到最大值,这时原来的重力势能完全转化为平动动能和转动动能。由于转动惯性的作用,球体继续旋转,但此时细绳已经全部展开,溜溜球已不可能再往下走,</p><p>只能按照原来的旋转方向垂直上爬,我们简称这一过程为“转向”。溜溜球在转向过程中,转动动能没有损失,但由于细绳不是完全弹性体,所以平动动能有损失。因此,总机械能减少了,溜溜球则不能爬上下落时的高度。在转向中,有一部分转动动能转换成了平动动能,以补充损失的平动动能的一部分,使球体获得适当的上爬垂直速度。球体的上爬,是把转向时的平动动能和转动动能逐渐转化为重力势能的过程,亦即随着高度的增加,上爬的垂直速度和转动速度越来越小。当两个速度为零时球体不再上爬。如果要使溜溜球爬上下落时的高度,就必须在转向过程中,使溜溜球损失的平动动能得到足够的补充。以获取要爬上下落时的高度所需要的垂直初速度。这就是我们在玩溜溜球时,在细绳全部展开时就必须迅速上提溜溜球的原因。如果没有上提,球体则不能上爬到下落时的高度。</p><p>在此必须指出,以上分析并没有考虑空气的阻尼和细绳的摩擦阻力,二者对溜溜球的影响是不可忽略的。它们的作用也相应的消耗了一部分机械能。为了使损失的这部分机械能得到补充,我们往往在溜溜球下落时给以适当的初速度,当球体转向时又向上一提。</p><p>可见,要玩好溜溜球的关键是上提的时机和力的大小,甩和提是玩好溜溜球的两个基本动作。</p>
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