初三华东师大版数学下二次函数的图象与性质知识点
<p>在二次函数的题中,我们经常会遇到一次函数与二次函数相交的境况。数学网为大家整理了二次函数的图象与性质知识点，希望对大家有帮助！</p><p>知识点</p><p>一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：</p><p>函数图像</p><p>y=ax^2+bx+c</p><p>(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向， a>0时，开口方向向上， a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)</p><p>则称y为x的二次函数。</p><p>二次函数表达式的右边通常为二次三项式。</p><p>表达式</p><p>一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)</p><p>顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h，k)]</p><p>交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A(x₁ ，0)和 B(x₂，0)的抛物线]</p><p>注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:</p><p>h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a</p><p>图象</p><p>在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图象，</p><p>可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。</p><p>性质</p><p>1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。</p><p>对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。</p><p>特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)</p><p>2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )</p><p>当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。</p><p>3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。</p><p>当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。</p><p>|a|越大，则抛物线的开口越小。</p><p>4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。</p><p>当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;</p><p>当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。</p><p>5.常数项c决定抛物线与y轴交点。</p><p>抛物线与y轴交于(0，c)</p><p>6.抛物线与x轴交点个数</p><p>Δ= b方-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。</p><p>Δ= b方-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。</p><p>Δ= b方-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)</p><p>位置关系</p><p>二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：</p><p>解析式 顶点坐标 对 称 轴</p><p>y=ax^2 (0，0) x=0</p><p>y=a(x-h)^2 (h，0) x=h</p><p>y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h</p><p>y=ax^2+bx+c (-b/2a，/4a) x=-b/2a</p><p>当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，</p><p>当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.</p><p>当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;</p><p>当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;</p><p>当h<0 k="">0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;<!--0--></p><p>当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;</p><p>因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.</p><p>2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，/4a).</p><p>3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小.</p><p>4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：</p><p>(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);</p><p>(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0</p><p>(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|</p><p>当△=0.图象与x轴只有一个交点;</p><p>当△<0 x="" a="">0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.<!--0--></p><p>5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.</p><p>顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.</p><p>课后练习</p><p></p><p>二次函数的图象与性质知识点的全部内容就是这些，不知道大家是否已经都掌握了呢？预祝大家可以更好的学习，取得优异的成绩。</p>
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