高考数学复习：基本不等式训练题
<p>1.若xy>0，则对xy+yx说法正确的是()</p><p>A.有最大值-2B.有最小值2</p><p>C.无最大值和最小值D.无法确定</p><p>答案：B</p><p>2.设x，y满足x+y=40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()</p><p>A.400B.100</p><p>C.40D.20</p><p>答案：A</p><p>3.已知x≥2，则当x=____时，x+4x有最小值____.</p><p>答案：24</p><p>4.已知f(x)=12x+4x.</p><p>(1)当x>0时，求f(x)的最小值;</p><p>(2)当x<0时，求f(x)的最大值.</p><p>解：(1)∵x>0，∴12x，4x>0.</p><p>∴12x+4x≥212x?4x=83.</p><p>当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，</p><p>∴当x>0时，f(x)的最小值为83.</p><p>(2)∵x<0 -x="">0.<!--0--></p><p>则-f(x)=12-x+(-4x)≥212-x??-4x?=83，</p><p>当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.</p><p>∴当x<0时，f(x)的最大值为-83.</p><p>一、选择题</p><p>1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()</p><p>A.x+12xB.x2-1+1x2-1</p><p>C.2x+2-xD.x(1-x)</p><p>答案：C</p><p>2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()</p><p>A.32-3B.-3</p><p>C.62D.62-3</p><p>解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)≥3(22-1)=62-3.</p><p>3.已知m、n∈R，mn=100，则m2+n2的最小值是()</p><p>A.200B.100</p><p>C.50D.20</p><p>解析：选A.m2+n2≥2mn=200，当且仅当m=n时等号成立.</p><p>4.给出下面四个推导过程：</p><p>①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba+ab≥2ba?ab=2;</p><p>②∵x，y∈(0，+∞)，∴lgx+lgy≥2lgx?lgy;</p><p>③∵a∈R，a≠0，∴4a+a≥24a?a=4;</p><p>④∵x，y∈R，，xy<0，∴xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]≤-2?-xy??-yx?=-2.</p><p>其中正确的推导过程为()</p><p>A.①②B.②③</p><p>C.③④D.①④</p><p>解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑.</p><p>①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba，ab∈(0，+∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确;</p><p>②虽然x，y∈(0，+∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy是负数，∴②的推导过程是错误的;</p><p>③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，</p><p>∴4a+a≥24a?a=4是错误的;</p><p>④由xy<0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.</p><p>5.已知a>0，b>0，则1a+1b+2ab的最小值是()</p><p>A.2B.22</p><p>C.4D.5</p><p>解析：选C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.</p><p>6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()</p><p>A.最大值64B.最大值164</p><p>C.最小值64D.最小值164</p><p>解析：选C.∵x、y均为正数，</p><p>∴xy=8x+2y≥28x?2y=8xy，</p><p>当且仅当8x=2y时等号成立.</p><p>∴xy≥64.</p><p>二、填空题</p><p>7.函数y=x+1x+1(x≥0)的最小值为________.</p><p>答案：1</p><p>8.若x>0，y>0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.</p><p>解析：1=x+4y≥2x?4y=4xy，∴xy≤116.</p><p>答案：大116</p><p>9.(2023年高考山东卷)已知x，y∈R+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.</p><p>解析：∵x>0，y>0且1=x3+y4≥2xy12，∴xy≤3.</p><p>当且仅当x3=y4时取等号.</p><p>答案：3</p><p>三、解答题</p><p>10.(1)设x>-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;</p><p>(2)求函数y=x2+8x-1(x>1)的最值.</p><p>解：(1)∵x>-1，∴x+1>0.</p><p>∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5</p><p>≥2?x+1??4x+1+5=9，</p><p>当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.</p><p>∴x=1时，函数的最小值是9.</p><p>(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1</p><p>=(x-1)+9x-1+2.∵x>1，∴x-1>0.</p><p>∴(x-1)+9x-1+2≥2?x-1??9x-1+2=8.</p><p>当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，</p><p>∴y有最小值8.</p><p>11.已知a，b，c∈(0，+∞)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)?(1b-1)?(1c-1)≥8.</p><p>证明：∵a，b，c∈(0，+∞)，a+b+c=1，</p><p>∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca，</p><p>同理1b-1≥2acb，1c-1≥2abc，</p><p>以上三个不等式两边分别相乘得</p><p>(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.</p><p>当且仅当a=b=c时取等号.</p><p>12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).</p><p>问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.</p><p>解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.</p><p>总造价f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200</p><p>=800×(x+225x)+20230</p><p>≥2023x?225x+20230</p><p>=20230(元)</p><p>当且仅当x=225x(x>0)，</p><p>即x=15时等号成立.</p>
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