高考数学学习重点：求数列通项公式的方法
<p>求数列通项公式常用以下几种方法：</p><p>一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。</p><p>例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。</p><p>解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。</p><p>二、已知数列的前n项和，用公式</p><p>S1(n=1)</p><p>Sn-Sn-1(n2)</p><p>例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5</p><p>(A)9(B)8(C)7(D)6</p><p>解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8∴k=8选(B)</p><p>此类题在解时要注意考虑n=1的情况。</p><p>三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。</p><p>例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。</p><p>解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-=-，Sn=-，</p><p>再用(二)的方法：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，</p><p>-(n=1)</p><p>-(n2)</p><p>四、用累加、累积的方法求通项公式</p><p>对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。</p><p>例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式</p><p>解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0</p><p>又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：∴-=-，</p><p>又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)</p><p>五、用构造数列方法求通项公式</p><p>题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。</p><p>例：已知数列{an}中，a1=2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……</p><p>(1)求{an}通项公式(2)略</p><p>解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--=(--1)(an--)</p><p>∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。</p><p>由a1=2得an--=(--1)n-1(2--)，于是an=(--1)n-1(2--)+-</p><p>又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，证明数列{an-n}是等比数列。</p><p>证明：本题即证an+1-(n+1)=q(an-n)(q为非0常数)</p><p>由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，</p><p>所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。</p><p>若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。</p><p>又例：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略</p><p>解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1</p>
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