高考数学公式：积化和差
<p>积化和差,课前预习，指初等数学三角函数部分的一组恒等式。</p><p>公式</p><p>sinαsinβ=-/2【注意右式前的负号】</p><p>cosαcosβ=/2</p><p>sinαcosβ=/2</p><p>cosαsinβ=/2</p><p>证明</p><p>法1</p><p>积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。</p><p>即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：</p><p>sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]</p><p>=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]</p><p>=-1/2</p><p>其他的3个式子也是相同的证明方法。</p><p>(该证明法逆向推导可用于和差化积的计算，参见和差化积)</p><p>法2</p><p>根据欧拉公式，e^ix=cosx+isinx</p><p>令x=a+b</p><p>得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)</p><p>所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb</p><p>sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa</p><p>记忆方法</p><p>积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了特点各自的简单记忆方法。</p><p>【1】这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该 是</p><p>[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。</p><p>也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：</p><p>cos(α-β)-cos(α+β)</p><p>=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)</p><p>=2sinαsinβ</p><p>故最后需要除以2。</p>
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