数学导数公式精编
<p>数学是理科的基础，如果数学不好的人，理科一定不好，数学网为大家推荐了高考数学导数公式，请大家仔细阅读，希望你喜欢。</p><p>导数的定义：f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0(下面就不再标明Δx→0了)</p><p>用定义求导数公式</p><p>(1)f(x)=x^n</p><p>证法一：(n为自然数)</p><p>f'(x)</p><p>=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx</p><p>=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx</p><p>=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]</p><p>=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)</p><p>=nx^(n-1)</p><p>证法二：(n为任意实数)</p><p>f(x)=x^n</p><p>lnf(x)=nlnx</p><p>(lnf(x))'=(nlnx)'</p><p>f'(x)/f(x)=n/x</p><p>f'(x)=n/x*f(x)</p><p>f'(x)=n/x*x^n</p><p>f'(x)=nx^(n-1)</p><p>(2)f(x)=sinx</p><p>f'(x)</p><p>=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx</p><p>=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx</p><p>=lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx</p><p>=lim cosxsinΔx/Δx</p><p>=cosx</p><p>(3)f(x)=cosx</p><p>f'(x)</p><p>=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx</p><p>=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx</p><p>=lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx</p><p>=lim -sinxsinΔx/Δx</p><p>=-sinx</p><p>(4)f(x)=a^x</p><p>证法一：</p><p>f'(x)</p><p>=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx</p><p>=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx</p><p>(设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1))</p><p>=lim a^x*m/loga^(m+1)</p><p>=lim a^x*m/</p><p>=lim a^x*lna*m/ln(m+1)</p><p>=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]</p><p>=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)]</p><p>=lim a^x*lna/lne</p><p>=a^x*lna</p><p>证法二：</p><p>f(x)=a^x</p><p>lnf(x)=xlna</p><p> '= '</p><p>f' (x)/f(x)=lna</p><p>f' (x)=f(x)lna</p><p>f' (x)=a^xlna</p><p>若a=e，原函数f(x)=e^x</p><p>则f'(x)=e^x*lne=e^x</p><p>(5)f(x)=loga^x</p><p>f'(x)</p><p>=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx</p><p>=lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx</p><p>=lim loga^(1+Δx/x)/Δx</p><p>=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)</p><p>=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)</p><p>=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna)</p><p>=lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)</p><p>=lim lne/(x*lna)</p><p>=1/(x*lna)</p><p>若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx</p><p>则f'(x)=1/(x*lne)=1/x</p><p>(6)f(x)=tanx</p><p>f'(x)</p><p>=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx</p><p>=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx</p><p>=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))</p><p>=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))</p><p>=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))</p><p>=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2</p><p>(7)f(x)=cotx</p><p>f'(x)</p><p>=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx</p><p>=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx</p><p>=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))</p><p>=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))</p><p>=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))</p><p>=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2</p><p>(8)f(x)=secx</p><p>f'(x)</p><p>=lim (sec(x+Δx)-secx)/Δx</p><p>=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx</p><p>=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)</p><p>=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))</p><p>=lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))</p><p>=sinx/(cosx)^2=tanx*secx</p><p>(9)f(x)=cscx</p><p>f'(x)</p><p>=lim (csc(x+Δx)-cscx)/Δx</p><p>=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx</p><p>=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))</p><p>=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))</p><p>=lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))</p><p>=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx</p><p>(10)f(x)=x^x</p><p>lnf(x)=xlnx</p><p>(lnf(x))'=(xlnx)'</p><p>f'(x)/f(x)=lnx+1</p><p>f'(x)=(lnx+1)*f(x)</p><p>f'(x)=(lnx+1)*x^x</p><p>(12)h(x)=f(x)g(x)</p><p>h'(x)</p><p>=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx</p><p>=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx</p><p>=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx</p><p>=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx</p><p>=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)</p><p>(13)h(x)=f(x)/g(x)</p><p>h'(x)</p><p>=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx</p><p>=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))</p><p>=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))</p><p>=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))</p><p>=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))</p><p>=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))</p><p>=/(g(x)*g(x))x</p><p>(14)h(x)=f(g(x))</p><p>h'(x)</p><p>=lim /Δx</p><p>=lim /Δx</p><p>(另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu)</p><p>=lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx</p><p>=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)</p><p>=lim f'(u)*Δu/Δx</p><p>=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx</p><p>=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)</p><p>(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1)</p><p>(15)y=f(x)=arcsinx</p><p>则siny=x</p><p>(siny)'=cosy</p><p>所以</p><p>(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy</p><p>=1/√1-(siny)^2</p><p>(siny=x)</p><p>=1/√1-x^2</p><p>即f'(x)=1/√1-x^2</p><p>(16)y=f(x)=arctanx</p><p>则tany=x</p><p>(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2</p><p>所以</p><p>(arctanx)'=1/1+x^2</p><p>即f'(x)= 1/1+x^2</p><p>总结一下</p><p>(x^n)'=nx^(n-1)</p><p>(sinx)'=cosx</p><p>(cosx)'=-sinx</p><p>(a^x)'=a^xlna</p><p>(e^x)'=e^x</p><p>(loga^x)'=1/(xlna)</p><p>(lnx)'=1/x</p><p>(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2</p><p>(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2</p><p>(secx)'=tanx*secx</p><p>(cscx)'=-cotx*cscx</p><p>(x^x)'=(lnx+1)*x^x</p><p>(arcsinx)'=1/√1-x^2</p><p>(arctanx)'=1/1+x^2</p><p>'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)</p><p>'=/(g(x)*g(x))</p><p>'=f'(g(x))g'(x)</p>
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