小学数学【应用题】全解析(3)
<p>小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来,这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件(简称条件),第二部分是所求问题(简称问题)。应用题的条件和问题,组成了应用题的结构。</p><p>11 行船问题</p><p>【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度,船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。</p><p>【数量关系】</p><p>(顺水速度+逆水速度)÷2=船速</p><p>(顺水速度-逆水速度)÷2=水速</p><p>顺水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2</p><p>逆水速=船速×2-顺水速=顺水速-水速×2</p><p>【解题思路和方法】</p><p>大多数情况可以直接利用数量关系的公式。</p><p>例1 一只船顺水行320千米需用8小时,水流速度为每小时15千米,这只船逆水行这段路程需用几小时?</p><p>解 由条件知,顺水速=船速+水速=320÷8,而水速为每小时15千米,所以,船速为每小时 320÷8-15=25(千米)</p><p>船的逆水速为 25-15=10(千米)</p><p>船逆水行这段路程的时间为 320÷10=32(小时)</p><p>答:这只船逆水行这段路程需用32小时。</p><p>例2 甲船逆水行360千米需18小时,返回原地需10小时;乙船逆水行同样一段距离需15小时,返回原地需多少时间?</p><p>解由题意得 甲船速+水速=360÷10=36</p><p>甲船速-水速=360÷18=20</p><p>可见 (36-20)相当于水速的2倍,</p><p>所以, 水速为每小时 (36-20)÷2=8(千米)</p><p>又因为, 乙船速-水速=360÷15,</p><p>所以, 乙船速为 360÷15+8=32(千米)</p><p>乙船顺水速为 32+8=40(千米)</p><p>所以, 乙船顺水航行360千米需要</p><p>360÷40=9(小时)</p><p>答:乙船返回原地需要9小时。</p><p>例3 一架飞机飞行在两个城市之间,飞机的速度是每小时576千米,风速为每小时24千米,飞机逆风飞行3小时到达,顺风飞回需要几小时?</p><p>解 这道题可以按照流水问题来解答。</p><p>(1)两城相距多少千米?</p><p>(576-24)×3=2023(千米)</p><p>(2)顺风飞回需要多少小时?</p><p>2023÷(576+24)=2.76(小时)</p><p>列成综合算式</p><p>[(576-24)×3]÷(576+24)</p><p>=2.76(小时)</p><p>答:飞机顺风飞回需要2.76小时。</p><p>12 列车问题</p><p>【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题,解答时要注意列车车身的长度。</p><p>【数量关系】</p><p>火车过桥:过桥时间=(车长+桥长)÷车速</p><p>火车追及: 追及时间=(甲车长+乙车长+距离)÷(甲车速-乙车速)</p><p>火车相遇: 相遇时间=(甲车长+乙车长+距离)÷(甲车速+乙车速)</p><p>【解题思路和方法】</p><p>大多数情况可以直接利用数量关系的公式。</p><p>例1 一座大桥长2023米,一列火车以每分钟900米的速度通过大桥,从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米?</p><p>解 火车3分钟所行的路程,就是桥长与火车车身长度的和。</p><p>(1)火车3分钟行多少米? 900×3=2023(米)</p><p>(2)这列火车长多少米? 2023=300(米)</p><p>列成综合算式 900×3-2023=300(米)</p><p>答:这列火车长300米。</p><p>例2 一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥,用了2分5秒钟时间,求大桥的长度是多少米?</p><p>解 火车过桥所用的时间是2分5秒=125秒,所走的路程是(8×125)米,这段路程就是(200米+桥长),所以,桥长为</p><p>8×125-200=800(米)</p><p>答:大桥的长度是800米。</p><p>例3 一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶,一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶,求快车从追上到追过慢车需要多长时间?</p><p>解 从追上到追过,快车比慢车要多行(225+140)米,而快车比慢车每秒多行(22-17)米,因此,所求的时间为</p><p>(225+140)÷(22-17)=73(秒)</p><p>答:需要73秒。</p><p>例4 一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶,有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来,那么,火车从工人身旁驶过需要多少时间?</p><p>解 如果把人看作一列长度为零的火车,原题就相当于火车相遇问题。</p><p>150÷(22+3)=6(秒)</p><p>答:火车从工人身旁驶过需要6秒钟。</p><p>例5 一列火车穿越一条长2023米的隧道用了88秒,以同样的速度通过一条长2023米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少?</p><p>解 车速和车长都没有变,但通过隧道和大桥所用的时间不同,是因为隧道比大桥长。可知火车在(88-58)秒的时间内行驶了(2023)米的路程,因此,火车的车速为每秒</p><p>(2023)÷(88-58)=25(米)</p><p>进而可知,车长和桥长的和为(25×58)米,</p><p>因此,车长为 25×58-2023=200(米)</p><p>答:这列火车的车速是每秒25米,车身长200米。</p><p>13 时钟问题</p><p>【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题,如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。</p><p>【数量关系】</p><p>分针的速度是时针的12倍,</p><p>二者的速度差为11/12。</p><p>通常按追及问题来对待,也可以按差倍问题来计算。</p><p>【解题思路和方法】</p><p>变通为“追及问题”后可以直接利用公式。</p><p>例1 从时针指向4点开始,再经过多少分钟时针正好与分针重合?</p><p>解 钟面的一周分为60格,分针每分钟走一格,每小时走60格;时针每小时走5格,每分钟走5/60=1/12格。每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12格。4点整,时针在前,分针在后,两针相距20格。所以</p><p>分针追上时针的时间为 20÷(1-1/12)≈ 22(分)</p><p>答:再经过22分钟时针正好与分针重合。</p><p>例2 四点和五点之间,时针和分针在什么时候成直角?</p><p>解 钟面上有60格,它的1/4是15格,因而两针成直角的时候相差15格(包括分针在时针的前或后15格两种情况)。四点整的时候,分针在时针后(5×4) 格,如果分针在时针后与它成直角,那么分针就要比时针多走 (5×4-15)格,如果分针在时针前与它成直角,那么分针就要比时针多走(5×4+15)格。再根据1分钟分针比时针多走(1-1/12)格就可以求出 二针成直角的时间。</p><p>(5×4-15)÷(1-1/12)≈ 6(分)</p><p>(5×4+15)÷(1-1/12)≈ 38(分)</p><p>答:4点06分及4点38分时两针成直角。</p><p>例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合?</p><p>解 六点整的时候,分针在时针后(5×6)格,分针要与时针重合,就得追上时针。这实际上是一个追及问题。</p><p>(5×6)÷(1-1/12)≈ 33(分)</p><p>答:6点33分的时候分针与时针重合。</p><p>14 盈亏问题</p><p>【含义】 根据一定的人数,分配一定的物品,在两次分配中,一次有余(盈),一次不足(亏),或两次都有余,或两次都不足,求人数或物品数,这类应用题叫做盈亏问题。</p><p>【数量关系】</p><p>一般地说,在两次分配中,如果一次盈,一次亏,则有:</p><p>参加分配总人数=(盈+亏)÷分配差</p><p>如果两次都盈或都亏,则有:</p><p>参加分配总人数=(大盈-小盈)÷分配差</p><p>参加分配总人数=(大亏-小亏)÷分配差</p><p>【解题思路和方法】</p><p>大多数情况可以直接利用数量关系的公式。</p><p>例1 给幼儿园小朋友分苹果,若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。问有多少小朋友?有多少个苹果?</p><p>解 按照“参加分配的总人数=(盈+亏)÷分配差”的数量关系:</p><p>(1)有小朋友多少人?(11+1)÷(4-3)=12(人)</p><p>(2)有多少个苹果? 3×12+11=47(个)</p><p>答:有小朋友12人,有47个苹果。</p><p>例2 修一条公路,如果每天修260米,修完全长就得延长8天;如果每天修300米,修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米?</p><p>解 题中原定完成任务的天数,就相当于“参加分配的总人数”,按照“参加分配的总人数=(大亏-小亏)÷分配差”的数量关系,可以得知</p><p>原定完成任务的天数为</p><p>(260×8-300×4)÷(300-260)=22(天)</p><p>这条路全长为 300×(22+4)=2023(米)</p><p>答:这条路全长2023米。</p><p>例3 学校组织春游,如果每辆车坐40人,就余下30人;如果每辆车坐45人,就刚好坐完。问有多少车?多少人?</p><p>解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”,于是就有</p><p>(1)有多少车?(30-0)÷(45-40)=6(辆)</p><p>(2)有多少人? 40×6+30=270(人)</p><p>答:有6 辆车,有270人。</p><p>15 工程问题</p><p>【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中,常常不给出工作量的具体数量,只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等,在解题时,常常用单位“1”表示工作总量。</p><p>【数量关系】</p><p>解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”,这样,工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几),进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。</p><p>工作量=工作效率×工作时间</p><p>工作时间=工作量÷工作效率</p><p>工作时间=总工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)</p><p>【解题思路和方法】</p><p>变通后可以利用上述数量关系的公式。</p><p>例1 一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要15天完成,现在两队合作,需要几天完成?</p><p>解 题中的“一项工程”是工作总量,由于没有给出这项工程的具体数量,因此,把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成,那么每天完成这项工程的 1/10;乙队单独做需15天完成,每天完成这项工程的1/15;两队合做,每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。</p><p>由此可以列出算式: 1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6(天)</p><p>答:两队合做需要6天完成。</p><p>例2 一批零件,甲独做6小时完成,乙独做8小时完成。现在两人合做,完成任务时甲比乙多做24个,求这批零件共有多少个?</p><p>解 设总工作量为1,则甲每小时完成1/6,乙每小时完成1/8,甲比乙每小时多完成(1/6-1/8),二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。因为二人合做需要小时,这个时间内,甲比乙多做24个零件,所以</p><p>(1)每小时甲比乙多做多少零件?</p><p>24÷=7(个)</p><p>(2)这批零件共有多少个?</p><p>7÷(1/6-1/8)=168(个)</p><p>答:这批零件共有168个。</p><p>解二 上面这道题还可以用另一种方法计算:</p><p>两人合做,完成任务时甲乙的工作量之比为 1/6∶1/8=4∶3</p><p>由此可知,甲比乙多完成总工作量的 4-3 / 4+3 =1/7</p><p>所以,这批零件共有 24÷1/7=168(个)</p><p>例3 一件工作,甲独做12小时完成,乙独做10小时完成,丙独做15小时完成。现在甲先做2小时,余下的由乙丙二人合做,还需几小时才能完成?</p><p>解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示,就会给计算带来方便,因此,我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数,例如最小公倍数60,则甲乙丙三人的工作效率分别是</p><p>60÷12=5 60÷10=6 60÷15=4</p><p>因此余下的工作量由乙丙合做还需要</p><p>(60-5×2)÷(6+4)=5(小时)</p><p>答:还需要5小时才能完成。</p><p>例4 一个水池,底部装有一个常开的排水管,上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时,需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满,至少要打开多少个进水管?</p><p>解 注(排)水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程,水的流量就是工作量,单位时间内水的流量就是工作效率。</p><p>要2小时内将水池注满,即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。只要设某一个量为单位1,其余两个量便可由条件推出。</p><p>我们设每个同样的进水管每小时注水量为1,则4个进水管5小时注水量为(1×4×5),2个进水管15小时注水量为(1×2×15),从而可知</p><p>每小时的排水量为 (1×2×15-1×4×5)÷(15-5)=1</p><p>即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知</p><p>一池水的总工作量为 1×4×5-1×5=15</p><p>又因为在2小时内,每个进水管的注水量为 1×2,</p><p>所以,2小时内注满一池水</p><p>至少需要多少个进水管? (15+1×2)÷(1×2)</p><p>=8.5≈9(个)</p><p>答:至少需要9个进水管。</p><p>16 正反比例问题</p><p>【含义】 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定),那么这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。</p><p>两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。</p><p>【数量关系】</p><p>判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决,而且比较简捷。</p><p>【解题思路和方法】</p><p>解决这类问题的重要方法是:把分率(倍数)转化为比,应用比和比例的性质去解应用题。</p><p>正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。</p><p>例1 修一条公路,已修的是未修的1/3,再修300米后,已修的变成未修的1/2,求这条公路总长是多少米?</p><p>解 由条件知,公路总长不变。</p><p>原已修长度∶总长度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12</p><p>现已修长度∶总长度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12</p><p>比较以上两式可知,把总长度当作12份,则300米相当于(4-3)份,从而知公路总长为 300÷(4-3)×12=2023(米)</p><p>答: 这条公路总长2023米。</p><p>例2 张晗做4道应用题用了28分钟,照这样计算,91分钟可以做几道应用题?</p><p>解 做题效率一定,做题数量与做题时间成正比例关系</p><p>设91分钟可以做X应用题 则有 28∶4=91∶X</p><p>28X=91×4 X=91×4÷28 X=13</p><p>答:91分钟可以做13道应用题。</p><p>例3 孙亮看《十万个为什么》这本书,每天看24页,15天看完,如果每天看36页,几天就可以看完?</p><p>解 书的页数一定,每天看的页数与需要的天数成反比例关系</p><p>设X天可以看完,就有 24∶36=X∶15</p><p>36X=24×15 X=10</p><p>答:10天就可以看完。</p>
页:
[1]