小学数学【应用题】全解析（2）
<p>小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件(简称条件)，第二部分是所求问题(简称问题)。应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。</p><p>6 倍比问题</p><p>【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。</p><p>【数量关系】</p><p>总量÷一个数量=倍数</p><p>另一个数量×倍数=另一总量</p><p>【解题思路和方法】</p><p>先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。</p><p>例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽2023千克，可以榨油多少?</p><p>解 (1)2023千克是100千克的多少倍? 2023÷100=37(倍)</p><p>(2)可以榨油多少千克? 40×37=2023(千克)</p><p>列成综合算式 40×(2023÷100)=2023(千克)</p><p>答：可以榨油2023千克。</p><p>例2 今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县20230名师生共植树多少棵?</p><p>解 (1)20230名是300名的多少倍? 20230÷300=160(倍)</p><p>(2)共植树多少棵? 400×160=20230(棵)</p><p>列成综合算式 400×(20230÷300)=20230(棵)</p><p>答：全县20230名师生共植树20230棵。</p><p>例3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入20231元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元?全县20230亩果园共收入多少元?</p><p>解 (1)800亩是4亩的几倍? 800÷4=200(倍)</p><p>(2)800亩收入多少元? 20231×200=2023200(元)</p><p>(3)20230亩是800亩的几倍? 20230÷800=20(倍)</p><p>(4)20230亩收入多少元? 2023200×20=20232023(元)</p><p>答：全乡800亩果园共收入2023200元，</p><p>全县20230亩果园共收入20232023元。</p><p>7 相遇问题</p><p>【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。</p><p>【数量关系】</p><p>相遇时间=总路程÷(甲速+乙速)</p><p>总路程=(甲速+乙速)×相遇时间</p><p>【解题思路和方法】</p><p>简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。</p><p>例1 南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇?</p><p>解 392÷(28+21)=8(小时)</p><p>答：经过8小时两船相遇。</p><p>例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间?</p><p>解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。</p><p>因此总路程为400×2</p><p>相遇时间=(400×2)÷(5+3)=100(秒)</p><p>答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。</p><p>例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。</p><p>解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是(3×2)千米，因此，</p><p>相遇时间=(3×2)÷(15-13)=3(小时)</p><p>两地距离=(15+13)×3=84(千米)</p><p>答：两地距离是84千米。</p><p>8 追及问题</p><p>【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。</p><p>【数量关系】</p><p>追及时间=追及路程÷(快速-慢速)</p><p>追及路程=(快速-慢速)×追及时间</p><p>【解题思路和方法】</p><p>简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。</p><p>例1 好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马?</p><p>解 (1)劣马先走12天能走多少千米? 75×12=900(千米)</p><p>(2)好马几天追上劣马? 900÷(120-75)=20(天)</p><p>列成综合算式 75×12÷(120-75)=900÷45=20(天)</p><p>答：好马20天能追上劣马。</p><p>例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。</p><p>解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用秒，所以小亮的速度是</p><p>(500-200)÷</p><p>=300÷100=3(米)</p><p>答：小亮的速度是每秒3米。</p><p>例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人?</p><p>解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时，这段时间敌人逃跑的路程是千米，甲乙两地相距60千米。由此推知</p><p>追及时间=÷(30-10)</p><p>=220÷20=11(小时)</p><p>答：解放军在11小时后可以追上敌人。</p><p>例4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。</p><p>解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车(16×2)千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，</p><p>这个时间为 16×2÷(48-40)=4(小时)</p><p>所以两站间的距离为 (48+40)×4=352(千米)</p><p>列成综合算式 (48+40)×</p><p>=88×4</p><p>=352(千米)</p><p>答：甲乙两站的距离是352千米。</p><p>例5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远?</p><p>解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间(从出发到相遇)内哥哥比妹妹多走(180×2)米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走(90-60)米，</p><p>那么，二人从家出走到相遇所用时间为</p><p>180×2÷(90-60)=12(分钟)</p><p>家离学校的距离为 90×12-180=900(米)</p><p>答：家离学校有900米远。</p><p>例6 孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。</p><p>解 手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到(10-5)分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了 (10-5)分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用分钟。</p><p>所以</p><p>步行1千米所用时间为 1÷</p><p>=0.25(小时)</p><p>=15(分钟)</p><p>跑步1千米所用时间为 15-=11(分钟)</p><p>跑步速度为每小时 1÷11/60=5.5(千米)</p><p>答：孙亮跑步速度为每小时 5.5千米。</p><p>9 植树问题</p><p>【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。</p><p>【数量关系】</p><p>线形植树 棵数=距离÷棵距+1</p><p>环形植树 棵数=距离÷棵距</p><p>方形植树 棵数=距离÷棵距-4</p><p>三角形植树 棵数=距离÷棵距-3</p><p>面积植树 棵数=面积÷(棵距×行距)</p><p>【解题思路和方法】</p><p>先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。</p><p>例1 一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳?</p><p>解 136÷2+1=68+1=69(棵)</p><p>答：一共要栽69棵垂柳。</p><p>例2 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树?</p><p>解 400÷4=100(棵)</p><p>答：一共能栽100棵白杨树。</p><p>例3 一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯?</p><p>解 220×4÷8-4=110-4=106(个)</p><p>答：一共可以安装106个照明灯。</p><p>例4 给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖?</p><p>解 96÷(0.6×0.4)=96÷0.24=400(块)</p><p>答：至少需要400块地板砖。</p><p>例5 一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯?</p><p>解 (1)桥的一边有多少个电杆? 500÷50+1=11(个)</p><p>(2)桥的两边有多少个电杆? 11×2=22(个)</p><p>(3)大桥两边可安装多少盏路灯?22×2=44(盏)</p><p>答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。</p><p>10 年龄问题</p><p>【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。</p><p>【数量关系】</p><p>年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。</p><p>【解题思路和方法】</p><p>可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。</p><p>例1 爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢?</p><p>解 35÷5=7(倍)</p><p>(35+1)÷(5+1)=6(倍)</p><p>答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，</p><p>明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。</p><p>例2 母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍?</p><p>解 (1)母亲比女儿的年龄大多少岁? 37-7=30(岁)</p><p>(2)几年后母亲的年龄是女儿的4倍?30÷(4-1)-7=3(年)</p><p>列成综合算式 (37-7)÷(4-1)-7=3(年)</p><p>答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。</p><p>例3 3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁?</p><p>解 今年父子的年龄和应该比3年前增加(3×2)岁，</p><p>今年二人的年龄和为 49+3×2=55(岁)</p><p>把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相当于(4+1)倍，因此，今年儿子年龄为 55÷(4+1)=11(岁)</p><p>今年父亲年龄为 11×4=44(岁)</p><p>答：今年父亲年龄是44岁，儿子年龄是11岁。</p>
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