立方和公式
<p> 公式证明</p><p>我们知道：</p><p>0次方和的求和公式ΣN^0＝N+1</p><p>1次方和的求和公式ΣN^1＝N(N+1)/2</p><p>2次方和的求和公式ΣN^2＝N(N+1)(2N+1)/6</p><p>取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1</p><p>系数可由杨辉三角形来确定</p><p>那末就有：</p><p>(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)</p><p>N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)</p><p>(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)</p><p>...................</p><p>2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)</p><p>.</p><p>于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有</p><p>左边=(N+1)^4-1</p><p>右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N</p><p>所以呢</p><p>把以上这已经证得的三个公式带入</p><p>4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1</p><p>得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N</p><p>移项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)</p><p>等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)</p><p>即</p><p>1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 ^2</p><p>大功告成！</p><p>立方和公式推导完毕</p><p>1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 ^2</p>
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