决战20232023中考：十字相乘法解析
<p> “十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用：</p><p>十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。</p><p>例1 把m²+4m-12分解因式</p><p>分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题</p><p>解：因为 1 -2</p><p>1 ? 6</p><p>所以m²+4m-12=(m-2)(m+6)</p><p>例2 把5x²+6x-8分解因式</p><p>分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题</p><p>解： 因为 1 2</p><p>5 ? -4</p><p>所以5x²+6x-8=(x+2)(5x-4)</p><p>例3 解方程x²-8x+15=0</p><p>分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，</p><p>3×5。</p><p>解： 因为 1 -3</p><p>1 ? -5</p><p>所以原方程可变形(x-3)(x-5)=0</p><p>所以x1=3 x2=5</p><p>例4、解方程 6x²-5x-25=0</p><p>分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，</p><p>则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。</p><p>解： 因为 2 -5</p><p>3 ? 5</p><p>所以 原方程可变形成(2x-5)(3x+5)=0</p><p>所以 x1=5/2 x2=-5/3</p><p>用十字相乘法解一些比较难的题目：</p><p>例5 把14x²-67xy+18y²分解因式</p><p>分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,</p><p>则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y</p><p>解: 因为 2 -9y</p><p>7 ? -2y</p><p>所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)</p><p>例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式</p><p>分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式</p><p>解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3</p><p>=10x²-(27y+1)x -(28y²-25y+3)</p><p>4y -3</p><p>7y ? -1</p><p>=10x²-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)</p><p>2 -(7y – 1)</p><p>5 ? 4y - 3</p><p>=</p><p>=(2x -7y +1)(5x +4y -3)</p><p>说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为(4y-3)(7y -1)，再用十字相乘法把</p><p>10x²-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)分解为：</p><p>解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3</p><p>2 -7y</p><p>5 ? 4y</p><p>=(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3</p><p>2 x -7y 1</p><p>5 x +4y ? -3</p><p>=[(2x -7y)+1] [(5x +4y)-3]</p><p>=(2x -7y+1)(5x +4y -3)</p><p>说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为(2x -7y)(5x +4y),再把(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3用十字相乘法分解为[(2x -7y)+1] [(5x +4y)-3].</p><p>例7：解关于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0</p><p>分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解</p><p>解：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0</p><p>x²- 3ax +(2a²–ab - b²)=0</p><p>1 -b</p><p>2 ? +b</p><p>x²- 3ax +(2a+b)(a-b)=0</p><p>1 -(2a+b)</p><p>1 ? -(a-b)</p><p>[ x-(a-b)]=0</p><p>所以 x1=2a+b x2=a-b</p><p>两种相关联的变量之间的二次函数的关系，可以用三种不同形式的解析式表示：一般式、顶点式、交点式交点式.利用配方法，把二次函数的一般式变形为 ：</p><p>Y=a[(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a2]</p><p>应用平方差公式对右端进行因式分解，得</p><p>Y=a</p><p>=a</p><p>因为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2=(-b±√b2-4ac)/2a</p><p>所以上式可写成y=a(x-x1)(x-x2),其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根</p><p>因x1，x2恰为此函数图象与x轴两交点(x1，0)，(x2，0)的横坐标，故我们把函数y=a(x-x1)(x-x2)叫做函数的交点式.在解决二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。二次函数的交点式还可利用下列变形方法求得：</p><p>设方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2</p><p>根据根与系数的关系x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，</p><p>有b/a=-(x1+x2),c/a=x1x2</p><p>∴y=ax2+bx+c</p><p>=a</p><p>=a</p><p>=a(x-x1)(x-x2)</p>
页:
[1]