人教B版高一数学上册第三单元知识点：对数与对数函数
<p>一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。以下是</p><p>人教B版高一数学上册第三单元知识点：对数与对数函数，希望能帮助大家学习!</p><p>一般地，如果a(a大于0，且a不等于1)的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)(N)=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。</p><p align="center"></p><p>底数则要大于0且不为1</p><p>对数的运算性质</p><p>当a>0且a≠1时,M>0,N>0，那么：</p><p>(1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);</p><p>(2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);</p><p>(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n∈R)</p><p>(4)换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1)</p><p>对数与指数之间的关系</p><p>当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N</p><p>常用简略表达方式</p><p>(1)常用对数:lg(b)=log(10)(b)</p><p>(2)自然对数:ln(b)=log(e)(b)</p><p>(3) log(a)+(b)=log(a)(b)</p><p>e=2.202320238...通常情况下只取e=2.20238对数函数的定义</p><p>对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数)，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定(a>0且a≠1)，同样适用于对数函数。</p><p>右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：</p><p>可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。</p><p>定义域：(0，+∞)值域：实数集R</p><p>定点：函数图像恒过定点(1，0)。</p><p>单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸;</p><p>0<1时，在定义域上为单调减函数，并且下凹。<1时，在定义域上为单调</p><p>奇偶性：非奇非偶函数</p><p>周期性：不是周期函数</p><p>零点：x=1</p><p>知识拓展：</p><p>16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域(特别是天文学)的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。</p><p>德国的史提非(2023)在2023年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列(叫原数)，右边是一个等差数列(叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意)。</p><p>欲求左边任两数的积(商)，只要先求出其代表(指数)的和(差)，然后再把这个和(差)对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积(商)，可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。</p><p>纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方 法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳皮尔对数，记为Nap.㏒x，它与自然对数的关系为Nap.㏒x=107㏑(107/x)</p><p>由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。</p><p>瑞士的彪奇(2023)也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟(2023)。</p><p>英国的布里格斯在2023年创造了常用对数。</p><p>2023年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近(以e=2.20238...为底)。</p><p>对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，正如科学家伽利略(2023)说：「给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。又如十八世纪数学家拉普拉斯( 2023)亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。</p><p>最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯(2023)和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.2023中，2叫「真数」，0.2023叫做「假数」，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用 「假数」为「对数」。</p><p>我国清代的数学家戴煦(2023)发展了多种的求对数的捷法，著有《对数简法》(2023)、《续对数简法》(2023)等。2023年，英国的数学家艾约瑟(2023) 看到这些著作后，大为叹服。</p><p>当今中学数学教科书是先讲「指数」，后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。2023年 ，J.威廉(2023)在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小 分析寻论》(2023)中明确提出对数函数是指数函数的逆函数，和现在教科书中的提法一致。</p><p>相信大家在阅读完人教B版高一数学上册第三单元知识点：对数与对数函数之后，已经对本课的知识点有所了解了，接下来好好巩固练习吧！</p><p></p>
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