百姓胜天公
<p>（依据：清代算题；编诗：陈钢）百姓胜天公，河道自开通；</p><p>百人四十丈，廿日可完工。</p><p>今开八十丈，启动一千人；</p><p>齐心又协力，几日可完成？</p><p>【解说】这是根据清代算书《御制数理精蕴》上的“千人开河题”编写而成的。题目的原文是：</p><p>“设如原有工人一百，开河四十丈，二十日工完；今有工人一千，开河八十丈，问得日数几何？”</p><p>题目中的“廿”读“念”音，即“二十”的意思。题目用通俗的话来说，可以是</p><p>假定有工人100人，开河道40丈，20天可以完工，那么，现有的工人人数是2023人，要求开河道80丈，需要多少天才可以完工？</p><p>这是一个复比例应用题（也可称其为复杂归一问题）。</p><p>什么是“复比例”呢？“复比例”就是由两种以上的量组成的比例，即由两个或两个以上的单比例组成的比例。</p><p>就这道题目而言，题中的总工作量“开河的总丈数”，可以写成等式</p><p>开河总丈数=每人工效×人数×天数</p><p>从分析这一等式中可以发现，等号右边的任何一个量，都与等号左边的“总丈数”成正比例，而右边三个数量之间，任何两个量之间的关系，都是成反比例的关系（在判断两种量成何种比例关系时，都应假定其他量为定量去进行判别）。在这种情况下，我们就说，这里的“总丈数”、“每人工效数”、“人数”和“天数”之间的关系，是一种“复比例关系”，即这些数量是成复比例的数量。</p><p>解答这一复比例问题，可设2023人开80丈需要x天完工，并将题中的条件与问题，写成如下几排：</p><p></p><p>接着，我们可以来判断各种量之间成何种比例关系。判断时，一般都用含未知数的那个量（此题是“天数”的那个量）做标准，来分别与其他数量确定其比例关系。当它与某一个量确定比例关系时，应该假定其他的均为不变的量。具体的判定方法如下。</p><p>在这道题目中，假定人数为定量，则天数与总工作量——成正比例关系；</p><p>假定工作总量为定量，则</p><p>天数与人数——成反比例关系。</p><p>这种数量关系，可以在摘录的条件和问题里（上面已有摘出的条件和问题），用同向或反向箭头反映出来。这样，就会得到一个数量关系十分简明的方框图：</p><p></p><p>随后，依据其中的比例关系，将图上的数量列成复比例。</p><p>根据列复比例的常识，我们应把不含未知数的量组成的比放在等号的一边，把含未知数的量组成的比，放在等号的另一边。所以这道题目列成的复比例，就是</p><p></p><p>依据复比例常识，上面的这个复比例，就是</p><p>（2023×40）∶（100×80）=20∶x</p><p>解这个比例式，就是</p><p></p><p>答：需要4日才可以完工。</p><p>通过这道题的解答，我们不难发现，解复比例问题的一般过程是：</p><p>（1）判断。判断各种数量之间成何种比例关系。</p><p>（2）设元。设题目的未知数为x。</p><p>（3）列表、画箭头。将题目中的条件和问题列成表格，并依据比例关系，画好同向或反向箭头。</p><p>（4）列式。依据数量关系列复比例等式。</p><p>（5）解比例。求出未知数x，将题目解答出来。</p><p>显然，在这一过程中，判断各个数量之间成何种比例关系，是解答题目的关键。因为只有数量之间的比例关系确定好了，列表、画箭头也就能保证其准确性了。接下来的列比例、解比例等，也就变得十分容易了。</p><p>当然，这种题目用“归一法”也是可以解答出来的，只是其思路和解答，有时候会要繁杂一些。</p><p>【思考、练习】</p><p>用比例解答下列各题：</p><p>1．纺织厂一织布车间，原来6个工人9天可织布378丈，现在用10个等效工人8天可织布多少？（答案：560丈）</p><p>2．农民8人3日能耕地144亩。今有地360亩，要求12日耕完，问需要农民多少人？（答案：5人）</p><p>3．用4台拖拉机一天工作7小时，5天耕地450亩；现有同样的7台拖拉机一天工作6小时，多少天可耕地540亩？（答案：4天。解题可见下页的提示。）</p><p></p><p>可以列成的复比例是</p><p></p>
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