各据一方
<p>在下面的算式里，共有十个空白方框。把0、1、2、…、9这十个不同数字全部填进去，使每个数字各自占据一个方框（“各据一方”），并且得到三个正确等式，应该怎样填？</p><p>□+□=□，</p><p>□+□=□，</p><p>□×□=□□。</p><p>容易验证，下面的填法完全满足要求：</p><p>1＋7=8，</p><p>3＋6=9，</p><p>4×5=20.</p><p>怎么知道能这样填？有没有其他不同填法呢？</p><p>由于十个方框里的数字各不相同，0又不能做二位数的首位数字，所以0只能填在第三个等式里的最后一个方框，作为二位数的末位数字。</p><p>由此推出，第三式的左边一定有一个方框里填5，另一个填写偶数非零数字，可能是2、4、6、8中的某一个，并且所填的这个偶数数字的一半，恰好等于等号右边乘积的十位数字。</p><p>0和5已经有了确定的位置，剩下的数字是1、2、3、4、6、7、8、9.要把这八个数字分成三组，前两组各有三个数字，并且其中最大的等于另两个的和；最后一组包含两个数字，其中一个等于另一个的两倍。不考虑顺序，唯一可能的分组方法是：</p><p>（1，7，8），（3，6，9），（2，4）。</p><p>这样就得到上面写出的填法。</p><p>两个加法算式可以互相交换位置，加号和乘号前后的两个数可以交换位置，这些简单变形可以不加区别。在这种意义上，本题只有唯一的答案。</p><p>从上面这道题，可以变化出一道新题。</p><p>减法是加法的逆运算。从一个加法算式：</p><p>3＋6=9，</p><p>可以得到两个减法算式：</p><p>9-3=6， 9-6=3.</p><p>所以，知道怎样解答上面这道题目，也就会解答从它变形得到的下面的问题：</p><p>把0、1、2、…、9这十个不同数字全部填进下面的空格，使每个数字各占一格，并且得到三个正确等式，应该怎样填？</p><p>□+□=□，</p><p>□-□=□，</p><p>□×□=□□。</p><p>变形以后的题目，有加、有减、有乘，变化更多，答案也从1个变成4个了。</p>
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