百钱买百鸡
<p>（依据：《张丘建算经》；编诗：陈钢）百钱买来百只鸡，公母小鸡数不齐；</p><p>母一钱三公钱五，三雏钱一价格低。</p><p>公鸡母鸡各多少？还有几只是小鸡？</p><p>【解说】这是依据我国古代《张丘建算经》上的“百鸡问题”编写而成的。</p><p>“百鸡问题”是一道闻名于世界的题目，很有价值，也很有趣味。题目的原文是：</p><p>“今鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。凡百钱买鸡百只，问：鸡翁、母、雏各几何？”</p><p>题目中的“鸡翁”、“鸡母”、“鸡雏”分别指“公鸡”、“母鸡”和“小鸡”。“雏”的读音与“除”音相同，“雏”即幼禽，这里指小鸡。若用通俗的话来说，题目的意思可以是：</p><p>用100文钱买来100只鸡，公鸡5文钱一只，母鸡3文钱一只，小鸡1文钱3只。问：在这100只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各是多少只？</p><p>对于这道题目的解答，《算经》上给出了如下的解法“术文”与答案：</p><p>“术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得。”“答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡雏七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡母十一，值钱三十三；鸡雏八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四，值钱十二；鸡雏八十四，值钱二十八。”</p><p>这一简要术文，意思可作如下表示：</p><p>公鸡每增加4只：4→8→12→……</p><p>则 母鸡应每减7只：18→11→4→……</p><p>小鸡应每增3只：78→81→84→……</p><p>看得出来，《算经》的解法是先求得第一组（竖的第一列）答案：</p><p>公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只。</p><p>然后采用“四、七、三增减法”，去求其他两组答案。但是，第一组答案是怎样求得的呢？这种“增减方法”又是怎样找到的呢？书上没作任何交代。据后人推测，这可能都是由实验得到的。因为</p><p>（增加数） （减少数）</p><p>4＋3 =7（只）——增减后，鸡的数目相等；</p><p></p><p>所以，只有这样，得数才比较容易搭配出来。</p><p>在《张丘建算经》以前的古算书上，从来没有出现过这种“一题三答”的题目。这一点，是张丘建在数学上的伟大贡献。</p><p>现在解这种题目，一般都是运用“不定方程”的知识来解答的。那么没有学过代数知识的读者，能否将它解答出来呢？</p><p>回答是肯定的。我们完全可以用一种比较简单的方法，来推算出题目的答案。</p><p></p><p>首先，我们可假定公鸡的只数为0。这样，题目就变成了：</p><p>用100文钱买100只鸡。母鸡3文钱一只，小鸡1文钱买3只。问：买来的100只鸡中，母鸡和小鸡各是多少只？</p><p>实际上这就是个“鸡兔问题”了，我们可以用“假定、置换”办法将它解答出来：</p><p>假定100只全部是小鸡，则用去的钱数是</p><p></p><p></p><p>再用“置换”方法，即可求得母鸡的只数为</p><p></p><p>小鸡的只数便是100-25=75（只）</p><p>这样一来，我们就得到了一组与原来题意不相符合的答案：</p><p>为使答案符合题意，应使公鸡数增加，不使其为0。办法是：在这一组答案的基础上，找出一种推算办法——“每次当公鸡增加4只，母鸡减少7只，小鸡增加3只”的时候，三种鸡的总数100只和它们需要的总钱数100文，都不会发生变化。</p><p>依据这一办法（或规律），我们便可推出本题的答案如下表所示：</p><p></p><p>显然，符合题意的答案，只有表中标明了的那三组。</p><p>（答略）</p><p>【思考、练习】</p><p>公元15世纪，亚细亚的数学家阿尔·喀西所著《算术之钥》中，有一个“百钱买百鸟”的题目：</p><p>“今有鸭一值四钱，雀五值一钱，鸡一值一钱。凡百钱买百鸟，问鸭、雀、鸡各几何？”</p><p>（注：题中的“鸭”和“鸡”是家禽，还是指野鸭、野鸡，它们是否属于鸟类，我们可以不去理会。鸭、雀、鸡的数目符合题意的答案有如下几组：①20，75，5；②16，60，24；③12，45，43；④8，30，62；⑤4，15，81。）</p>
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