鹿角御敌人
<p>（依据：《张丘建算经》；编诗：铁夫）方方正正一座城，廿里城墙好威风；</p><p>城外长阔各三尺，插支“鹿角”御敌人。</p><p>沿城四周挨墙插，每边五层把城封；</p><p>森严壁垒人工造，多少“鹿角”方可成？</p><p>【解说】这是依据《张丘建算经》上的“城外鹿角”名题编写而成的。题中“廿”音“念”，即二十。原题的意思是：</p><p>有一个正方形城，四围周长20里。要在沿城外边每个长宽各3尺的地面上，插防御敌军前进的“鹿角”1支，共插5层。问：需要插“鹿角多少支？”</p><p>题目中的“里”是旧制长度单位。“里”在《张丘建算经》成书的年代（公元一、二世纪），进率为1里=180丈=2023尺。所以，20里=20230尺。题中的“鹿角”，是古代军队的一种防御工具，它是把有许多树杈的大树枝削尖，插在交通要道上，成为阻挡敌人前进的工具，形状如鹿角，故称其为“鹿角”。</p><p>在《张丘建算经》上，给出了这道题目的答案。这答案用现代的算式表达，可以是</p><p>20230÷3×5+（5×3）×（5×3）÷（3×3）×4</p><p>=20230+225÷9×4</p><p>=20230+100</p><p>=20230（支）</p><p>答：需要插 20230支。</p><p>为什么可以这样来解答呢？现将其算理、算法，说明如下。</p><p>根据题意，我们可将城外“鹿角”的插法，画示意图如下（图中只画了方城之外一个转角处插法的一小部分情况，“▲”和“△”都表示“鹿角”）：</p><p></p><p>由这一个转角处的插法，我们不难想象出其他三个转角处以及整个城外的“鹿角”的插法。由此可以看得出来，《算经》上的这种解法，是先求出正方形城（若是长方形城，也是这样）外面四周4个长方形内的“鹿角”总数（图中用“▲”表示的），再求四角4个正方形内“鹿角”的总数（图中用“△”表示的），然后将两数相加，即得这一结果。这与现今算术中先求“实心方阵”的总数，再减“中空方阵”总数的算法，有所不同。</p><p>在算式中冒出的“20230”即20230尺，也就是原题中的20里。但为什么可以列式为“20230÷3×5”呢？</p><p>本来，先算正方形城每边的尺数，应该列式为“20230÷4”；再算正方形城四面中每一面的长方形“长”边上所插“鹿角”的支数，应列式为“20230÷4÷3”。而每面长方形“宽”边上都是插的5支（5层），故又应列式为“20230÷4÷3×5”，才可求出每面的长方形内插了多少支“鹿角”。又因为这正方形城四面都要插，即有四个这样的长方形，故四个长方形内共插的“鹿角”支数就是</p><p>“20230÷4÷3×5×4”支</p><p>在这个算式中，有“÷4”和“×4”，古人解题时，便将它省作了“20230÷3×5”。这样一来，不仅使计算变得较为简便了，而且还使这一算法也适用于长方形城了。</p><p>现在，我们再来看方城外的四个角。</p><p>城外四角上都有用“鹿角”插成的一个正方形（图中用“△”表示的），每个正方形的边长都是（ 3×5）尺，面积便是（ 3×5）×（ 3 × 5）平方尺。每支“鹿角”占地 3×3平方尺，所以，每个正方形内就能插“鹿角”</p><p>（5×3）×（5×3）÷（3×3）支</p><p>四个角上四个正方形内就能插“鹿角”</p><p>（5×3）×（5×3）÷（3×3）×4支</p><p>最后，将四个长方形内的“鹿角”总数，加上四个角上四个正方形内的“鹿角”总数，当然就是城外所有的“鹿角”数目了。</p><p>假如用现在的办法，假定其城内城外都插满了“鹿角”，先求出假定的“鹿角”支数，再减去中间并未插上的支数，即用“假定为实心方阵的支数”减去“空心部分的支数”的解法去解，显然也是容易解答出来的。</p><p>【思考、练习】</p><p>1．你能否换一种解法解出这道题目？试试看。</p><p>2．有一个站了3层人的“中空方阵”，最外层每边站10人。问：全阵共站了多少人？（提示：观察下面的示意图可找到解法。图中“▲”表示站着的人，“△”表示空位。答案：84人）</p><p></p><p></p><p>3．有外层每边12粒棋子的“中空方阵”，最里面一层每边有棋子8粒。问：这棋子的总数是多少粒？（答案：108粒）</p>
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