高中数学教案：高一数学《数列》教学设计方案
<p>教学目标</p><p>1．使学生理解的概念，了解通项公式的意义，了解递推公式是给出的一种方法，并能根据递推公式写出的前几项．</p><p>（1）理解是按一定顺序排成的一列数，其每一项是由其项数唯一确定的．</p><p>（2）了解的各种表示方法，理解通项公式是第 项 与项数 的关系式，能根据通项公式写出的前几项，并能根据给出的一个的前几项写出该的一个通项公式．</p><p>（3）已知一个的递推公式及前若干项，便确定了，能用代入法写出的前几项．</p><p>2．通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．</p><p>3．通过由 求 的过程，培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯．</p><p>教学建议</p><p>（1）为激发学生学习的兴趣，体会知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中抽象出要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还有物品堆放个数的计算等．</p><p>（2）中蕴含的函数思想是研究的指导思想，应及早引导学生发现与函数的关系．在教学中强调的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的，次序不同则就是不同的．函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，就有列举法、图示法、通项公式法．由于的自变量为正整数，于是就有可能相邻的两项（或几项）有关系，从而就有其特殊的表示法——递推公式法．</p><p>（3）由的通项公式写出的前几项是简单的代入法，教师应精心设计例题，使这一例题为写通项公式作一些准备，尤其是对程度差的学生，应多举几个例子，让学生观察归纳通项公式与各项的结构关系，尽量为写通项公式提供帮助．</p><p>（4）由的前几项写出的一个通项公式使学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项中的结构特征（整式，分式，递增，递减，摆动等），由学生归纳一些规律性的结论，如正负相间用 来调整等．如果学生一时不能写出通项公式，可让学生依据前几项的规律，猜想该的下一项或下几项的值，以便寻求项与项数的关系．</p><p>（5）对每个都有求和问题，所以在本节课应补充前 项和的概念，用 表示 的问题是重点问题，可先提出一个具体问题让学生分析 与 的关系，再由特殊到一般，研究其一般规律，并给出严格的推理证明（强调 的表达式是分段的）；之后再到特殊问题的解决，举例时要兼顾结果可合并及不可合并的情况．</p><p>（6）给出一些简单的通项公式，可以求其最大项或最小项，又是函数思想与方法的体现，对程度好的学生应提出这一问题，学生运用函数知识是可以解决的．</p><p>教学设计示例</p><p>的概念</p><p>教学目标</p><p>1．通过教学使学生理解的概念，了解的表示法，能够根据通项公式写出的项．</p><p>2．通过定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想．</p><p>3．通过有关实际应用的介绍，激发学生学习研究的积极性．</p><p>教学重点，难点</p><p>教学重点是的定义的归纳与认识；教学难点 是与函数的联系与区别．</p><p>教学用具：电脑，课件（媒体资料），投影仪，幻灯片</p><p>教学方法：讲授法为主</p><p>教学过程</p><p>一．揭示课题</p><p>今天开始我们研究一个新课题．</p><p>先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数</p><p>（板书） 象这样排好队的数就是我们的研究对象——．</p><p>（板书）第三章</p><p>（一）的概念</p><p>二．讲解新课</p><p>要研究先要知道何为，即先要给下定义，为帮助同学概括出的定义，再给出几列数：</p><p>（幻灯片） ①</p><p>自然数排成一列数：</p><p>②</p><p>3个1排成一列：</p><p>③</p><p>无数个1排成一列：</p><p>④</p><p>的不足近似值，分别近似到 排列起来：</p><p>⑤</p><p>正整数 的倒数排成一列数：</p><p>⑥</p><p>函数 当 依次取 时得到一列数：</p><p>⑦</p><p>函数 当 依次取 时得到一列数：</p><p>⑧</p><p>请学生观察8列数，说明每列数就是一个，中的每个数都有自己的特定的位置，这样就是按一定顺序排成的一列数．</p><p>（板书）1．的定义：按一定次序排成的一列数叫做．</p><p>为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述八个为例，让学生练习指出某一个的首项是多少，第二项是多少，指出某一个的一些项的项数．</p><p>由此可以看出，给定一个，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．</p><p>（板书）2．与函数的关系</p><p>可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，的定义域是正整数集 ，或是正整数集 的有限子集 ．</p><p>于是我们研究就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待．</p><p>遇到数学概念不单要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨的表示法．</p><p>（板书）3．的表示法</p><p>可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为</p><p>（板书）（1）列举法</p><p>．（如幻灯片上的例子）简记为 ．</p><p>一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个，把它称作图示法．</p><p>（板书）（2）图示法</p><p>启发学生仿照函数图象的画法画的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的 为例，做出一个的图象），所得的的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于的项数．从图象中可以直观地看到的项随项数由小到大变化而变化的趋势．</p><p>有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些的项能用其项数的函数式表示出来，即 ，这个函数式叫做的通项公式．</p><p>（板书）（3）通项公式法</p><p>如 的通项公式为 ；</p><p>的通项公式为 ；</p><p>的通项公式为 ；</p><p>的通项公式具有双重身份，它表示了的第 项，又是这个中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个项与项数的函数关系，给了的通项公式，这个便确定了，代入项数就可求出的每一项．</p><p>例如， 的通项公式 ，则 ．</p><p>值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．</p><p>除了以上三种表示法，某些相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．</p><p>（板书）（4）递推公式法</p><p>如前面所举的钢管的例子，第 层钢管数 与第 层钢管数 的关系是 ，再给定 ，便可依次求出各项．再如 中， ，这个就是 ．</p><p>像这样，如果已知的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式来表示，这个公式叫做这个的递推公式．递推公式是所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．</p><p>可由学生举例，以检验学生是否理解．</p><p>三．小结</p><p>1．的概念</p><p>2．的四种表示</p><p>四．作业 略</p><p>五．板书设计</p><p>（一）的概念 涉及的及表示</p><p>1．的定义</p><p>2．与函数的关系</p><p>3．的表示法</p><p>（1）列举法</p><p>（2）图示法</p><p>（3）通项公式法</p><p>（4）递推公式法</p><p>探究活动</p><p>将边长为 厘米的正方形分成 个边长为1厘米的正方形，数出其中所有正方形的个数．</p><p>解：当 时，共有正方形 个；当 时，共有正方形 个；当 时，共有正方形 个；当 时，共有正方形 个；当 时，共有正方形 个；归纳猜想边长为 厘米的正方形中的正方形共有 个．</p>
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