中考数学复习指导 一元二次方程的基本解法
<p>一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法．方程ax2+bx+c=0(a0)称为一元二次方程．</p><p>一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法．</p><p>对于方程ax2+bx+c=0(a0)，△=b2-4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即</p><p></p><p>当△=0时，方程有两个相等的实数根，即</p><p>当△＜0时，方程无实数根．</p><p></p><p>分析可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解．</p><p></p><p>因为</p><p></p><p>所以</p><p></p><p></p><p>例2已知方程(2023x)2-20232023x-1=0的较大根为a，方程x2+2023x-2023=0的较小根为，求-的值．</p><p>解由方程(2023x)2-20232023x-1=0得(20232x+1)(x-1)=0，</p><p>(x+2023)(x-1)=0，</p><p>故x1=-2023，x2=1，所以=-2023．所以-=1-(-2023)=2023</p><p>例3解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．</p><p>分析本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1)，将方程变为3x-1=4x+1，</p><p>所以x=-2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下．</p><p>解(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0，</p><p>(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0，</p><p>(x-1)(x+2)=0，</p><p>所以x1=1，x2=-2．</p><p>例4解方程：x2-3｜x｜-4=0．</p><p>分析本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义．</p><p>解法1显然x0．当x＞0时，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1(舍去)．当x＜0时，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1(舍去)．</p><p>所以原方程的根为x1=4，x2=-4．</p><p>解法2由于x2=｜x｜2，所以</p><p>｜x｜2-3｜x｜-4=0，</p><p>所以(｜x｜-4)(｜x｜+1)=0，</p><p>所以｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)．</p><p>所以x1=4，x2=-4．</p><p>例5已知二次方程</p><p>3x2-(2a-5)x-3a-1=0</p><p>有一个根为2，求另一个根，并确定a的值．</p><p>解由方程根的定义知，当x=2时方程成立，所以</p><p>322-(2a-5)2-3a-1=0，</p><p>故a=3．原方程为</p><p>3x2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，</p><p></p><p>例6解关于x的方程：ax2+c=0(a0)．</p><p>分析含有字母系数的方程，一般需要对字母的取值范围进行讨论．</p><p></p><p>当c=0时，x1=x2=0；</p><p></p><p>当ac＞0(即a，c同号时)，方程无实数根．</p><p>例7若k为正整数，且关于x的方程</p><p>(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0</p><p>有两个不相等的正整数根，求k的值．</p><p>解原方程变形、因式分解为</p><p>(k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0，</p><p>[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0，</p><p>即</p><p>4，7．所以k=2，3使得x1，x2同时为正整数，但当k=3时，x1=x2=3，与题目不符，所以，只有k=2为所求．</p><p>例8关于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有实根a和，且｜｜+｜｜6，确定m的取值范围．</p><p>解不妨设方程的根，由求根公式得</p><p></p><p>｜｜+｜｜=+=5＜6，符合要求，所以m21．</p><p></p><p></p><p></p><p>解设小球摆成正三角形时，每边有x个球，则摆成正方形时每边有(x-2)个球．此时正三角形共有球</p><p>此时正方形共有(x-2)2个球，所以</p><p>即x2-9x+8=0，x1=1，x2=8．</p><p>因为x-21，所以x1=1不符合题意，舍去．所以x=8，此时共有球(x-2)2=36个．</p><p>例9有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形或正三角形，摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，求球的个数．</p>
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