高中数学平面解析几何初步检测考试题（附答案）
<p>第2章 平面解析几何初步 综合检测</p><p>(时间：120分钟；满分：150分)</p><p>一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)</p><p>1．直线3ax－y－1＝0与直线(a－23)x＋y＋1＝0垂直，则a的值是()</p><p>A．－1或13 B．1或13</p><p>C．－13或－1 D．－13或1</p><p>解析：选D.由3a(a－23)＋(－1)1＝0，得a＝－13或a＝1.</p><p>2．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a0，b0，ab)在同一坐标系中的图形大致是图中的()</p><p>解析：选C.直线l1：ax－y＋b＝0，斜率为a，在y轴上的截距为b，</p><p>设k1＝a，m1＝b.直线l2：bx－y＋a＝0，斜率为b，在y轴上的截距为a，</p><p>设k2＝b，m2＝a.</p><p>由A知：因为l1∥l2，k1＝k20，m10，即a＝b0，b0，矛盾．</p><p>由B知：k1k2，m10，即ab，b0，矛盾．</p><p>由C知：k10，m20，即a0，可以成立．</p><p>由D知：k10，m2m1，即a0，ab，矛盾．</p><p>3．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是()</p><p>A．62－2 B．8</p><p>C．46 D．10</p><p>解析：选B.点A关于x轴对称点A(－1，－1)，A与圆心(5,7)的距离为5＋12＋7＋12＝10.所求最短路程为10－2＝8.</p><p>4．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝4的位置关系是()</p><p>A．相离 B．相切</p><p>C．相交 D．内含</p><p>解析：选D.圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心距02－1＝1，所以两圆内含．</p><p>5．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为23时，a的值等于()</p><p>A.2 B.2－1</p><p>C．2－2 D.2＋1</p><p>解析：选B.圆心(a,2)到直线l：x－y＋3＝0的距离d＝|a－2＋3|2＝|a＋1|2，依题意|a＋1|22＋2023＝4，解得a＝2－1.</p><p>6．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线是()</p><p>A．3x－2y－6＝0</p><p>B．2x＋3y＋7＝0</p><p>C．3x－2y－12＝0</p><p>D．2x＋3y＋8＝0</p><p>解析：选D.∵所求直线平行于直线2x＋3y－6＝0，</p><p>设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0，</p><p>由|2－3＋c|22＋32＝|2－3－6|22＋32，</p><p>c＝8，或c＝－6(舍去)，</p><p>所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.</p><p>7．若直线y－2＝k(x－1)与圆x2＋y2＝1相切，则切线方程为()</p><p>A．y－2＝34(1－x)</p><p>B．y－2＝34(x－1)</p><p>C．x＝1或y－2＝34(1－x)</p><p>D．x＝1或y－2＝34(x－1)</p><p>解析：选B.数形结合答案容易错选D，但要注意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分．</p><p>8．圆x2＋y2－2x＝3与直线y＝ax＋1的公共点有()</p><p>A．0个 B．1个</p><p>C．2个 D．随a值变化而变化</p><p>解析：选C.直线y＝ax＋1过定点(0,1)，而该点一定在圆内部．</p><p>9．过P(5,4)作圆C：x2＋y2－2x－2y－3＝0的切线，切点分别为A、B，四边形PACB的面积是()</p><p>A．5 B．10</p><p>C．15 D．20</p><p>解析：选B.∵圆C的圆心为(1,1)，半径为5.</p><p>|PC|＝5－12＋4－12＝5，</p><p>|PA|＝|PB|＝52－52＝25，</p><p>S＝202352＝10.</p><p>10．若直线mx＋2ny－4＝0(m、nR，nm)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的周长，则mn的取值范围是()</p><p>A．(0,1) B．(0，－1)</p><p>C．(－，1) D．(－，－1)</p><p>解析：选C.圆x2＋y2－4x－2y－4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m＋2n－4＝0，即m＋n＝2，mn＝m(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋11，当m＝1时等号成立，此时n＝1，与“mn”矛盾，所以mn＜1.</p><p>11．已知直线l：y＝x＋m与曲线y＝1－x2有两个公共点，则实数m的取值范围是()</p><p>A．(－2,2) B．(－1,1)</p><p>C．．</p><p>19．已知圆x2＋y2－2x－4y＋m＝0.</p><p>(1)此方程表示圆，求m的取值范围；</p><p>(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OMON(O为坐标原点)，求m的值；</p><p>(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．</p><p>解：(1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，可化为</p><p>(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，</p><p>∵此方程表示圆，</p><p>5－m＞0，即m＜5.</p><p>(2)x2＋y2－2x－4y＋m＝0，x＋2y－4＝0，</p><p>消去x得(4－2y)2＋y2－2(4－2y)－4y＋m＝0，</p><p>化简得5y2－16y＋m＋8＝0.</p><p>设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则</p><p>y1＋y2＝165，①y1y2＝m＋85. ②</p><p>由OMON得y1y2＋x1x2＝0</p><p>即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0，</p><p>16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.</p><p>将①②两式代入上式得</p><p>16－2023＋5m＋85＝0，</p><p>解之得m＝85.</p><p>(3)由m＝85，代入5y2－16y＋m＋8＝0，</p><p>化简整理得25y2－80y＋48＝0，解得y1＝125，y2＝45.</p><p>x1＝4－2y1＝－45，x2＝4－2y2＝125.</p><p>M－45，125，N125，45，</p><p>MN的中点C的坐标为45，85.</p><p>又|MN|＝ 125＋452＋45－2023＝855，</p><p>所求圆的半径为455.</p><p>所求圆的方程为x－452＋y－852＝165.</p><p>20. 已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|＝|PA|成立，如图．</p><p>(1)求a、b间关系；</p><p>(2)求|PQ|的最小值；</p><p>(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．</p><p>解：(1)连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，</p><p>又|PQ|＝|PA|，</p><p>所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2</p><p>＝1＋|PA|2，</p><p>所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，</p><p>故2a＋b－3＝0.</p><p>(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，</p><p>所以|PQ|min＝|PA|min，为A到直线l的距离，</p><p>所以|PQ|min＝|22＋1－3|22＋12＝255.</p><p>(或由|PQ|2＝|OP|2－1＝a2＋b2－1＝a2＋9－12a＋4a2－1＝5a2－12a＋8＝5(a－1.2)2＋0.8，得|PQ|min＝255.)</p><p>(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点与l垂直的直线l与l的交点P0，所以r＝322＋12－1＝355－1，</p><p>又l：x－2y＝0，</p><p>联立l：2x＋y－3＝0得P0(65，35)．</p><p>所以所求圆的方程为(x－65)2＋(y－35)2＝(355－1)2.</p><p>21．有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．</p><p>解：法一：由题意可设所求的方程为(x－3)2＋(y－6)2＋(4x－3y＋6)＝0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得＝－1，所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.</p><p>法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，</p><p>则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CAl，得</p><p>3－a2＋6－b2＝r2，5－a2＋2－b2＝r2，b－6a－343＝－1，解得a＝5，b＝92，r2＝254.所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y－92)2＝254.</p><p>法三：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由CAl，A(3,6)，B(5,2)在圆上，得</p><p>32＋62＋3D＋6E＋F＝0，52＋22＋5D＋2E＋F＝0，－E2－6－D2－343＝－1，解得D＝－10，E＝－9，F＝39.</p><p>所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.</p><p>法四：设圆心为C，则CAl，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为y－6＝－34(x－3)，</p><p>即3x＋4y－33＝0.</p><p>又因为kAB＝6－23－5＝－2，</p><p>所以kBP＝12，所以直线BP的方程为x－2y－1＝0.</p><p>解方程组3x＋4y－33＝0，x－2y－1＝0，得x＝7，y＝3.所以P(7,3)．</p><p>所以圆心为AP的中点(5，92)，半径为|AC|＝52.</p><p>所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y－92)2＝254.</p><p>22．如图在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.</p><p>(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；</p><p>(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P的坐标．</p><p>解：(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为圆C1被直线l截得的弦长为23，所以d＝22－32＝1.</p><p>由点到直线的距离公式得d＝|1－k－3－4|1＋k2，</p><p>从而k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－724，</p><p>所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.</p><p>(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k0，则直线l2的方程为y－b＝－1k(x－a)．因为圆C1和C2的半径相等，且圆C1被直线l1截得的弦长与圆C2被直线l2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即</p><p>|1－k－3－a－b|1＋k2＝|5＋1k4－a－b|1＋1k2，</p><p>整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因为k的取值有无穷多个，所以</p><p>a＋b－2＝0，b－a＋3＝0，或a－b＋8＝0，a＋b－5＝0，</p><p>解得a＝52，b＝－12，或a＝－32，b＝132.</p><p>这样点P只可能是点P152，－12或点P2－32，132.</p><p>经检验点P1和P2满足题目条件．</p>
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