高中数学不等式检测考试题（附答案）
<p>第3章不等式 综合检测</p><p>(时间：120分钟；满分：150分)</p><p>一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)</p><p>1．下列命题中正确的是()</p><p>A．a＞bac2＞bc2 B．a＞ba2＞b2</p><p>C．a＞ba3＞b3 D．a2＞b2a＞b</p><p>解析：选C.A中，当c＝0时，ac2＝bc2，所以A不正确；B中，当a＝0＞b＝－1时，a2＝0＜b2＝1，所以B不正确；D中，当(－2)2＞(－1)2时，－2＜－1，所以D不正确．很明显C正确．</p><p>2．设M＝2a(a－2)＋3，N＝(a－1)(a－3)，aR，则有()</p><p>A．M＞N B．MN</p><p>C．M＜N D．MN</p><p>解析：选B.M－N＝2a(a－2)＋3－(a－1)(a－3)</p><p>＝a20.</p><p>3．当|x|1时，函数y＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值范围是()</p><p>A．a－13 B．a－1</p><p>C．－1－13 D．－1－13</p><p>解析：选C.y＝ax＋2a＋1可以看成关于x的一次函数，在[－1,1]上具有单调性，因此只需当x＝－1和x＝1时的函数值互为相反数，即(a＋2a＋1)(－a＋2a＋1)0，解这个关于a的一元二次不等式，得－1－13.</p><p>4．二次不等式ax2＋bx＋10的解集为{x|－113}，则ab的值为()</p><p>A．－6 B．6</p><p>C．－5 D．5</p><p>解析：选B.由题意a0，－1，13是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，</p><p>－1＋13＝－ba－113＝1a，</p><p>a＝－3，b＝－2.ab＝6.</p><p>5．已知全集U＝R，且A＝{x||x－1|＞2}，B＝{x|x2－6x＋8＜0}，则(UA)B等于()</p><p>A．[－1,4) B．(2,3)</p><p>C．(2,3] D．(－1,4)</p><p>解析：选C.A＝{x|x＞3或x＜－1}，B＝{x|2＜x＜4}，</p><p>UA＝{x|－13}，则(UA)B＝{x|2＜x3}．</p><p>6．函数y＝3xx2＋x＋1(x＜0)的值域是()</p><p>A．(－1,0) B．[－3,0)</p><p>C．[－3,1] D．(－，0)</p><p>解析：选B.y＝3x＋1x＋1，∵x＜0，</p><p>－x＞0且y＜0，</p><p>x＋1x＝－(－x＋1－x)－2，</p><p>y＝3x＋1x＋1－3，当且仅当x＝－1时等号成立．</p><p>7．当x0时，不等式(5－a)x2－6x＋a＋50恒成立，则实数a的取值范围是()</p><p>A．(－，4) B．(－4,4)</p><p>C．</p><p>解析：选B.用特殊值检验法，取a＝10，则不等式为－5x2－6x＋150，即5x2＋6x－150，当x0时，不恒成立，排除C，D，取a＝0，不等式为5x2－6x＋50，当x0时，恒成立，排除A.故选B.</p><p>8．若0＜＜＜4，sin ＋cos ＝a，sin ＋cos ＝b，则()</p><p>A．a＜b B．a＞b</p><p>C．ab＜1 D．ab＞2</p><p>解析：选A.∵0＜＜＜4，</p><p>0＜2＜2＜2且0＜sin 2＜sin 2，</p><p>a2＝(sin＋cos)2＝1＋sin2，</p><p>b2＝(sin＋cos)2＝1＋sin2，</p><p>a2－b2＝(1＋sin2)－(1＋sin2)，</p><p>＝sin2－sin2＜0，</p><p>a2＜b2.</p><p>又∵a＝sin＋cos＞0，b＝sin＋cos＞0，</p><p>a＜b.</p><p>9．(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面区域为()</p><p>解析：选B.用原点检验，求下面的两个不等式组表示的区域的并集：</p><p>x＋2y＋1＞0x－y＋4＜0或x＋2y＋1＜0x－y＋4＞0.</p><p>10．若a0，b0，则不等式－ba等价于()</p><p>A．－1b0或01a</p><p>B．－1a1b</p><p>C．x－1a或x1b</p><p>D．x－1b或x1a</p><p>解析：选D.按照解分式不等式的同解变形，</p><p>得－ba1x＋b01x－a0</p><p>1＋bxx01－axx0</p><p>xbx＋10x1－ax0</p><p>0或x－1b，x1a或x0</p><p>－1b或x1a.</p><p>法二：数形结合法，画出函数f(x)＝1x的图象，函数f(x)＝1x的图象夹在两条直线y＝－b，y＝a之间的部分的x的范围即为所求．</p><p>11．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋10恒成立，则实数a的取值范围是()</p><p>A．[－2，＋) B．(－，－2)</p><p>C．[－2,2] D．</p><p>B．[－1,0)0，255</p><p>C.－1，－2023，255</p><p>D.－1，－202355，1</p><p>答案：C</p><p>二、填空题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上)</p><p>13．设点P(x，y)在函数y＝4－2x的图象上运动，则9x＋3y的最小值为________．</p><p>解析：因为点P(x，y)在直线y＝4－2x上运动，所以2x＋y＝4,9x＋3y＝32x＋3y232x3y＝232x＋y＝234＝18.当且仅当2x＝y，即x＝1，y＝2时，等号成立．所以当x＝1，y＝2时，9x＋3y取得最小值18.</p><p>答案：18</p><p>14．已知不等式axx－1＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，则a＝________.</p><p>解析：原不等式可化为a－1x＋1x－1＜0(x－1)[(a－1)x＋1]＜0，</p><p>∵此不等式的解集为{x|x＜1或x＞2}，</p><p>a－1＜0且－1a－1＝2，a＝12.</p><p>答案：12</p><p>15．设实数x，y满足x－y－20，x＋2y－50，y－20，则u＝yx－xy的取值范围是________．</p><p>解析：作出x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是，即yx，故令t＝yx，则u＝t－1t，根据函数u＝t－1t在t上单调递增得u[－83，32]．</p><p>答案：[－83，32]</p><p>16．已知点A(53，5)，过点A的直线l：x＝my＋n(n0)，若可行域xmy＋nx－3y0的外接圆的直径为20，则实数n的值是________．</p><p>解析：由题意可知，可行域是由三条直线x＝my＋n(n0)、x－3y＝0和y＝0所围成的封闭三角形(包括边界)，如图中阴影部分．又知直线x－3y＝0过点A(53，5)，</p><p>所以|OA|＝10，外接圆直径2R＝20.</p><p>设直线l的倾斜角为，</p><p>则由正弦定理，得10sin－＝20，</p><p>所以sin＝12，tan＝33.</p><p>由tan＝1m，得1m＝33，即m＝3.</p><p>将点A(53，5)代入直线x＝3y＋n，</p><p>得53＝35＋n，解得n＝103，n＝0(舍去)．</p><p>答案：103</p><p>三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)</p><p>17．已知a0，b0，且ab，比较a2b＋b2a与a＋b的大小．</p><p>解：∵(a2b＋b2a)－(a＋b)＝a2b－b＋b2a－a</p><p>＝a2－b2b＋b2－a2a＝(a2－b2)(1b－1a)</p><p>＝(a2－b2)a－bab＝a－b2a＋bab，</p><p>又∵a0，b0，ab，(a－b)20，a＋b0，ab0，</p><p>(a2b＋b2a)－(a＋b)0，a2b＋b2aa＋b.</p><p>18．求z＝3x－2y的最大值和最小值，式中的x，y满足条件4x－5y＋210，x－3y＋70，2x＋y－70.</p><p>解：作出可行域如图</p><p>作一组与3x－2y＝0平行的直线l，当l过C时，z最大，l过B时，z最小．</p><p>又4x－5y＋21＝0x－3y＋7＝0，得B(－4,1)；</p><p>x－3y＋7＝02x＋y－7＝0，得C(2,3)．</p><p>所以zmax＝32－23＝0，zmin＝3(－4)－21＝－14.</p><p>19．若不等式x2＋ax＋10对于一切x(0，12]成立，求a的取值范围．</p><p>解：法一：若－a212，即a－1时，则f(x)在(0，12]上是减函数，应有f(12)－52－1；</p><p>若－a20，即a0时，则f(x)在上是增函数，应有f(0)＝10恒成立，故a0；</p><p>若0－a212，即－10，则应有f(－a2)＝a24－a22＋1＝1－a240恒成立，故－10；</p><p>综上，有a－52.</p><p>法二：原不等式x2＋ax＋10可化为a－(x＋1x)，</p><p>设g(x)＝－(x＋1x)，因为g(x)在(0，12]内单调递增，所以g(x)在(0，12]内的最大值是g(12)＝－52，要使不等式恒成立当且仅当a－52.</p><p>20．(2023年福州高二检测)某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润20230元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润2023元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？</p><p>解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮能够产生利润z万元．</p><p>目标函数为z＝x＋0.5y，</p><p>约束条件为：4x＋y2023x＋15y0，x0，yN，</p><p>可行域如图中阴影部分的整点．</p><p>当直线y＝－2x＋2z经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大．</p><p>解方程组4x＋y＝2023x＋15y＝66得：M点坐标为(2,2)．</p><p>所以zmax＝x＋0.5y＝3.</p><p>所以生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元．</p><p>21．整改校园内一块长为15 m，宽为11 m的长方形草地(如图A)，将长减少1 m，宽增加1 m(如图B)．问草地面积是增加了还是减少了？假设长减少x m，宽增加x m(x0)，试研究以下问题：</p><p>x取什么值时，草地面积减少？</p><p>x取什么值时，草地面积增加？</p><p>解：原草地面积S1＝2023＝165(m2)，</p><p>整改后草地面积为：S＝2023＝168(m2)，</p><p>∵SS1，整改后草地面积增加了．</p><p>研究：长减少x m，宽增加x m后，草地面积为：</p><p>S2＝(11＋x)(15－x)，</p><p>∵S1－S2＝165－(11＋x)(15－x)＝x2－4x，</p><p>当04时，x2－4x0，S1S2；</p><p>当x＝4时，x2－4x＝0，S1＝S2.</p><p>当x4时，x2－4x0，S1S2.</p><p>综上所述，当04时，草地面积增加，</p><p>当x＝4时，草地面积不变，</p><p>当x4时，草地面积减少．</p><p>22．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，cR)满足：对任意实数x，都有f(x)x，且当x(1,3)时，有f(x)18(x＋2)2成立．</p><p>(1)证明：f(2)＝2；</p><p>(2)若f(－2)＝0，求f(x)的表达式；</p><p>(3)设g(x)＝f(x)－m2x，x2－80.</p><p>解得：1－221＋22.</p><p>②0，－21－m0，f00.解得：m1－22，</p><p>综上m(－，1＋22)．</p>
页:
[1]