高中数学等比数列检测考试题（附答案和解释）
<p>2.3.1等比数列第二课时 优化训练</p><p>1．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a等于()</p><p>A．4 B．2</p><p>C．－2 D．－4</p><p>解析：选D.由互不相等的实数a，b，c成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由a＋3b＋c＝10可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又c，a，b成等比数列可得d＝6，所以a＝－4.</p><p>2．等比数列前3项的积为2，最后三项的积为4，所有项的积为64，则该数列有()</p><p>A．13项 B．12项</p><p>C．11项 D．10项</p><p>解析：选B.设该数列为{an}，由题意得</p><p>a1a2a3＝2，anan－1an－2＝4，</p><p>(a1an)3＝8，</p><p>a1an＝2，</p><p>(a1a2…an)2＝642＝(a1an)n＝2n，</p><p>n＝12.</p><p>3．在等比数列{an}中，a5、a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，则a7等于()</p><p>A．－1 B．1</p><p>C．1 D．以上都不正确</p><p>解析：选B.设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由an＝a1qn－1，知数列{an}奇数项和偶数项的符号分别相同．这样由a5＋a9＝187＞0，a5a9＝1，得a7＝1，选B.</p><p>4．已知{an}是等比数列，</p><p>(1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝________；</p><p>(2)若an＞0，a1a100＝100，则lga1＋lga2＋…＋lga100＝________.</p><p>解析：(1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，</p><p>a23＋2a3a5＋a25＝25，(a3＋a5)2＝25，</p><p>又an＞0，a3＋a5＝5.</p><p>(2)∵a1a100＝a2a99＝…＝a50a51＝100，</p><p>lga1＋lga2＋…＋lga100＝lg(a1a2…a99a100)</p><p>＝lg(a1a100)50＝50 lg100＝100.</p><p>答案：2023</p><p>5．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为2023.求此四个数．</p><p>解：设前三个数分别为a－d，a，a＋d，则有</p><p>(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16.</p><p>再设后三个数分别为bq，b，bq，</p><p>则有bqbbq＝b3＝2023，</p><p>即b＝20.</p><p>四个数分别为m,16,20，n.</p><p>m＝216－20＝12，n＝20236＝25，</p><p>即四个数分别为12,16,20,25.</p><p>1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a25，a2＝1，则a1＝()</p><p>A.12 B.22</p><p>C.2 D．2</p><p>解析：选B.设公比为q.</p><p>由a3a9＝2a25得a26＝2a25.</p><p>|a6|＝2|a5|，|a6a5|＝2，即|q|＝2，</p><p>又∵q＞0，q＝2，</p><p>a1＝a2q＝22.</p><p>2.设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，对应的函数图象如图，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1，则()</p><p>A．an＋1＝bn＋1</p><p>B．an＋1bn＋1</p><p>C．an＋1bn＋1</p><p>D．an＋1bn＋1</p><p>解析：选B.由题图可得，选B.</p><p>3．已知a，b，c成等比数列，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有()</p><p>A．0个 B．1个</p><p>C．2个 D．0个或1个</p><p>解析：选A.由题意知b2＝ac.</p><p>∵＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2＜0，</p><p>图象与x轴无交点．</p><p>4．设xR，记不超过x的最大整数为，令{x}＝x－，则{5＋12}，，5＋12()</p><p>A．是等差数列但不是等比数列</p><p>B．是等比数列但不是等差数列</p><p>C．既是等差数列又是等比数列</p><p>D．既不是等差数列也不是等比数列</p><p>解析：选B.∵＝1，{5＋12}＝5＋12－1＝5－12，</p><p>{5＋12}5＋12＝()2＝1，又∵5＋12＋{5＋12}＝52，是等比数列但不是等差数列．</p><p>5．若两个数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两个数为两根的一元二次方程是()</p><p>A．x2－6x＋5＝0 B．x2＋12x＋25＝0</p><p>C．x2＋6x－25＝0 D．x2－12x＋25＝0</p><p>解析：选D.设这两个数为x1，x2，由题意知</p><p>x1＋x2＝12，x1x2＝25，</p><p>以这两个数为两根的方程为x2－12x＋25＝0.</p><p>6．已知a、b、c、d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点为(b，c)，则ad等于()</p><p>A．3 B．2</p><p>C．1 D．－2</p><p>解析：选B.曲线y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，所以顶点为(1,2)，即bc＝12＝2＝ad.</p><p>7．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．</p><p>解析：设插入的三个数为aq，a，aq，据题意，五个数成等比数列，</p><p>所以aqaq＝20232＝36.</p><p>所以a＝6(舍去a＝－6)．</p><p>插入的三个数的乘积为a3＝216.</p><p>故答案为216.</p><p>答案：216</p><p>8．在等比数列{an}中，若a4a6a8a10a12＝243，则a210a12的值为________．</p><p>解析：由a4a6a8a10a12＝243得a58＝243，</p><p>a8＝3.</p><p>从而a210a12＝a12a8a12＝a8＝3.</p><p>答案：3</p><p>9．定义一种运算“*”，对于nN＋满足以下运算性质：①1*1=1，②（n+1）*1=3(n*1),则n*1用含n的代数式表示为_________________.</p><p>解析：(n＋1)*1＝3(n*1)＝33[(n－1)*1]</p><p>＝…＝3n(1*1)=3n,故n*1=3n-1</p><p>答案：3n－1</p><p>10．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，nN＋，其中k是常数．</p><p>(1)求a1及an；</p><p>(2)若对于任意的mN＋，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．</p><p>解：(1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1，</p><p>an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n2)．</p><p>a1＝k＋1也满足上式，所以an＝2kn－k＋1，nN＋.</p><p>(2)由am，a2m，a4m成等比数列，得</p><p>(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，</p><p>将上式化简，得2km(k－1)＝0.</p><p>因为mN＋，所以m0，故k＝0或k＝1.</p><p>11．(2023年荆州高二检测)已知等比数列{an}中，a2＝32，a8＝12，an＋1＜an.</p><p>(1)求数列{an}的通项公式；</p><p>(2)设Tn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，求Tn的最大值及相应的n值．</p><p>解：(1)由q6＝a8a2＝2023＝164，</p><p>an＋1＜an，得q＝12.</p><p>a1＝a2q＝2023＝64，所以通项公式为：</p><p>an＝64(12)n－1＝27－n(nN＋)．</p><p>(2)设bn＝log2an，</p><p>则bn＝log227－n＝7－n，</p><p>所以，{bn}是首项为6，公差为－1的等差数列．</p><p>Tn＝6n＋nn－12(－1)</p><p>＝－12n2＋132n</p><p>＝－12(n－132)2＋2023.</p><p>因为n是自然数，所以，n＝6或n＝7时，Tn最大，其最大值是T6＝T7＝21.</p><p>12．设数列{an}和{bn}满足a1＝b1＝6，a2＝b2＝4，a3＝b3＝3，且数列{an＋1－an}(nN＋)是等差数列，数列{bn－2}(nN＋)是等比数列．</p><p>(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；</p><p>(2)是否存在kN＋，使ak－bk(0，12)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．</p><p>解：(1)∵数列{an＋1－an}是等差数列，</p><p>an＋1－an＝(a2－a1)＋(n－1)d，</p><p>a2－a1＝－2，a3－a2＝－1，d＝1，</p><p>an＋1－an＝－2＋(n－1)＝n－3，</p><p>a2－a1＝1－3，</p><p>a3－a2＝2－3，</p><p>…</p><p>an－an－1＝n－1－3，相加得</p><p>an－a1＝－3(n－1)</p><p>an＝12(n2－7n＋18)(nN＋)．</p><p>∵{bn－2}是等比数列，</p><p>bn－2＝(b1－2)qn－1，</p><p>b1－2＝4，b2－2＝2，q＝12，</p><p>bn－2＝412n－1.</p><p>bn＝412n－1＋2.</p><p>(2)不存在，a1－b1＝0，a2－b2＝0，a3－b3＝0，</p><p>n4时，an＝12(n2－7n＋18)是递增数列，an3.</p><p>n4时，bn＝412n－1＋2是递减数列，</p><p>bn212，</p><p>an－bn12，</p><p>即ak－bk0，12.</p>
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