高中数学对数函数及其性质测试题（附答案）
<p>1．(2023年高考天津卷)设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则()</p><p>A．a＜c＜b B．b＜c＜a</p><p>C．a＜b＜c D．b＜a＜c</p><p>解析：选D.a＝log54＜1，log53＜log54＜1，b＝(log53)2＜log53，c＝log45＞1，故b＜a＜c.</p><p>2．已知f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上递减，那么f(x)在(1，＋)上()</p><p>A．递增无最大值 B．递减无最小值</p><p>C．递增有最大值 D．递减有最小值</p><p>解析：选A.设y＝logau，u＝|x－1|.</p><p>x(0,1)时，u＝|x－1|为减函数，a1.</p><p>x(1，＋)时，u＝x－1为增函数，无最大值．</p><p>f(x)＝loga(x－1)为增函数，无最大值．</p><p>3．已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0且a1)在上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为()</p><p>A.12 B.14</p><p>C．2 D．4</p><p>解析：选C.由题可知函数f(x)＝ax＋logax在上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，整理可得a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)，故a＝2.</p><p>4．函数y＝log13(－x2＋4x＋12)的单调递减区间是________．</p><p>解析：y＝log13u，u＝－x2＋4x＋12.</p><p>令u＝－x2＋4x＋120，得－26.</p><p>x(－2,2]时，u＝－x2＋4x＋12为增函数，</p><p>y＝log13(－x2＋4x＋12)为减函数．</p><p>答案：(－2,2]</p><p>1．若loga2＜1，则实数a的取值范围是()</p><p>A．(1,2) B．(0,1)(2，＋)</p><p>C．(0,1)(1,2) D．(0，12)</p><p>解析：选B.当a＞1时，loga2＜logaa，a＞2；当0＜a＜1时，loga2＜0成立，故选B.</p><p>2．若loga2logb20，则下列结论正确的是()</p><p>A．0b1 B．0a1</p><p>C．a1D．b1</p><p>解析：选B.∵loga2logb20，如图所示，</p><p>0a1.</p><p>3．已知函数f(x)＝2log12x的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是()</p><p>A． B．[－1,1]</p><p>C． D．(－，22]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为()</p><p>A.14 B.12</p><p>C．2 D．4</p><p>解析：选B.当a＞1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝12，与a＞1矛盾；</p><p>当0＜a＜1时，1＋a＋loga2＝a，</p><p>loga2＝－1，a＝12.</p><p>5．函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上()</p><p>A．是增函数 B．是减函数</p><p>C．先增后减 D．先减后增</p><p>解析：选A.当a＞1时，y＝logat为增函数，t＝(a－1)x＋1为增函数，f(x)＝loga[(a－1)x＋1]为增函数；当0＜a＜1时，y＝logat为减函数，t＝(a－1)x＋1为减函数，</p><p>f(x)＝loga[(a－1)x＋1]为增函数．</p><p>6．(2023年高考全国卷Ⅱ)设a＝lge，b＝(lg e)2，c＝lg e，则()</p><p>A．ac B．ab</p><p>C．cb D．ca</p><p>解析：选B.∵13，则1e10，</p><p>01.则lg e＝12lg elg e，即ca.</p><p>∵01，(lg e)2lg e，即ba.</p><p>又c－b＝12lg e－(lg e)2＝12lg e(1－2lg e)</p><p>＝12lg elg10e20，cb，故选B.</p><p>7．已知0＜a＜1,0＜b＜1，如果alogb(x－3)＜1，则x的取值范围是________．</p><p>解析：∵0＜a＜1，alogb(x－3)＜1，logb(x－3)＞0.</p><p>又∵0＜b＜1，0＜x－3＜1，即3＜x＜4.</p><p>答案：3＜x＜4</p><p>8．f(x)＝log21＋xa－x的图象关于原点对称，则实数a的值为________．</p><p>解析：由图象关于原点对称可知函数为奇函数，</p><p>所以f(－x)＋f(x)＝0，即</p><p>log21－xa＋x＋log21＋xa－x＝0log21－x2a2－x2＝0＝log21，</p><p>所以1－x2a2－x2＝1a＝1(负根舍去)．</p><p>答案：1</p><p>9．函数y＝logax在[2，＋)上恒有|y|＞1，则a取值范围是________．</p><p>解析：若a＞1，x[2，＋)，|y|＝logaxloga2，即loga2＞1，1＜a＜2；若0＜a＜1，x[2，＋)，|y|＝－logax－loga2，即－loga2＞1，a＞12，12＜a＜1.</p><p>答案：12＜a＜1或1＜a＜2</p><p>10．已知f(x)＝6－ax－4ax1logax x1是R上的增函数，求a的取值范围．</p><p>解：f(x)是R上的增函数，</p><p>则当x1时，y＝logax是增函数，</p><p>a</p><p>又当x1时，函数y＝(6－a)x－4a是增函数．</p><p>6－a0，a6.</p><p>又(6－a)1－4aloga1，得a65.</p><p>656.</p><p>综上所述，65a＜6.</p><p>11．解下列不等式．</p><p>(1)log2(2x＋3)＞log2(5x－6)；</p><p>(2)logx12＞1.</p><p>解：(1)原不等式等价于2x＋3＞05x－6＞02x＋3＞5x－6，</p><p>解得65＜x＜3，</p><p>所以原不等式的解集为(65，3)．</p><p>(2)∵logx12＞1log212log2x＞11＋1log2x＜0</p><p>log2x＋1log2x＜0－1＜log2x＜0</p><p>2－1＜x＜20x＞012＜x＜1.</p><p>原不等式的解集为(12，1)．</p><p>12．函数f(x)＝log12(3x2－ax＋5)在[－1，＋)上是减函数，求实数a的取值范围．</p><p>解：令t＝3x2－ax＋5，则y＝log12t在[－1，＋)上单调递减，故t＝3x2－ax＋5在[－1，＋)单调递增，且t＞0(即当x＝－1时t＞0)．</p><p>因为t＝3x2－ax＋5的对称轴为x＝a6，所以a6－18＋a＞0－6a＞－8－8＜a－6.</p>
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