高中数学函数应用测试题(含答案)
<p>第四章 函数应用</p><p>(时间90分钟，满分120分)</p><p>一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)</p><p>1．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是 ()</p><p>A．(1，－4) B．(4，－1)</p><p>C．1，－4 D．4，－1</p><p>解析：由x2－3x－4＝0，得x1＝4，x2＝－1.</p><p>答案：D</p><p>2．今有一组实验数据如下表所示：</p><p>t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12</p><p>u 1.5 4.04 7.5 12 18.01</p><p>则体现这些数据关系的最佳函数模型是 ()</p><p>A．u＝log2t B．u＝2t－2</p><p>C．u＝t2－12 D．u＝2t－2</p><p>解析：把t＝1.99，t＝3.0代入A、B、C、D验证易知，C最近似．</p><p>答案：C</p><p>3．储油30 m3的油桶，每分钟流出34 m3的油，则桶内剩余油量Q(m3)以流出时间t(分)为自变量的函数的定义域为 ()</p><p>A．</p><p>C．(－，40] D．</p><p>解析：由题意知Q＝30－34t，又030，即0 30－34t30，040.</p><p>答案：D</p><p>4．由于技术的提高，某产品的成本不断降低，若每隔3年该产品的价格降低13，现在价格为8 100元的产品，则9年后价格降为 ()</p><p>A．2 400元 B．900元</p><p>C．300元 D．3 600元</p><p>解析：由题意得8 100(1－13)3＝2 400.</p><p>答案：A</p><p>5．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ()</p><p>A．(－2，－1) B．(－1,0)</p><p>C．(0,1) D．(1,2)</p><p>解析：f(－1)＝2－1＋3(－1)＝12－3＝－520，</p><p>f(0)＝20＋30＝10.</p><p>∵y＝2x，y＝3x均为单调增函数，</p><p>f(x)在(－1,0)内有一零点</p><p>答案：B</p><p>6．若函数y＝f(x)是偶函数，其定义域为{x|x0}，且函数f(x)在(0，＋)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有 ()</p><p>A．唯一一个 B．两个</p><p>C．至少两个 D．无法判断</p><p>解析：根据偶函数的单调性和对称性，函数f(x)在(0，＋)上有且仅有一个零点，则在(－，0)上也仅有一个零点．</p><p>答案：B</p><p>7．函数f(x)＝x2＋2x－3，x0，－2＋lnx，x0的零点个数为 ()</p><p>A．0 B．1</p><p>C．2 D．3</p><p>解析：由f(x)＝0，得x0，x2＋2x－3＝0或x0，－2＋lnx＝0，</p><p>解之可得x＝－3或x＝e2，</p><p>故零点个数为2.</p><p>答案：C</p><p>8．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元 (不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费</p><p>()</p><p>A．1.00元 B．0.90元</p><p>C．1.20元 D．0.80元</p><p>解析：y＝0.2＋0.1(－3)，(是大于x的最小整数，x0)，令x＝20230，故＝10，则y＝0.9.</p><p>答案：B</p><p>9．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是 ()</p><p>A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2</p><p>C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln(x－12)</p><p>解析：令g(x)＝0，则4x＝－2x＋2.画出函数y1＝4x和函数y2＝－2x＋2的图像如图，可知g(x)的零点在区间(0,0.5)上，选项A的零点为0.25，选项B的零点为1，选项C的零点为0，选项D的零点大于1，故排除B、C、D.</p><p>答案：A</p><p>10．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图像，实线表示y＝f(x )，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是 ()</p><p>解析：A选项中即时价格越来越小时，而平均价格在增加，故不对，而B选项中即时价格在下降，而平均价格不变化，不正确．D选项中平均价格不可能越来越高，排除D.</p><p>答案：C</p><p>二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)</p><p>11．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．</p><p>解析：f(x)＝x3－2x－5，</p><p>f(2)＝－10，f(3)＝160，f(2.5)＝5.2023，</p><p>∵f(2)f(2.5)0，</p><p>下一个有根区间是(2,2.5)．</p><p>答案：(2,2.5)</p><p>12．已知mR时，函数f(x)＝m(x2－1)＋x－a恒有零点，则实数a的取值范围是________．</p><p>解析：(1)当m＝0时，</p><p>由f(x)＝x－a＝0，</p><p>得x＝a，此时aR.</p><p>(2)当m0时，令f(x)＝0，</p><p>即mx2＋x－m－a＝0恒有解，</p><p>1＝1－4m(－m－a)0恒成立，</p><p>即4m2＋4am＋1 0恒成立，</p><p>则2＝(4a)2－440，</p><p>即－11.</p><p>所以对mR，函数f(x)恒有零点，有a[－1 ,1]．</p><p>答案：[－1,1]</p><p>13．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速 度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地，汽车离开A地的距离x随时间t变化的关系式是________．</p><p>解析：从A地到B地，以60 km/h匀速行驶，x＝60t，耗时2.5个小时，停留一小时，x不变．从B地返回A地，匀速行驶，速度为50 km/h，耗时3小时，故x＝150－50(t－3.5)＝－50t＋325</p><p>所以x＝60t，02.5，150， 2.53.5，－50t＋325， 3.56.5.</p><p>答案 ：x＝60t，02.2023， 2.53.5－50t＋325 3.56.5</p><p>14．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：</p><p>高峰时间段用 电价格表</p><p>高峰月用电量(单位：千瓦时) 高峰电价(单位：元/千瓦时)</p><p>50及以下的部分 0.568</p><p>超过50至200的部分 0.598</p><p>超过200的部分 0.668</p><p>低谷时间段用电价格表</p><p>低谷月用电量(单位：千瓦时) 低谷电价(单位：元/千瓦时)</p><p>50及以下的部分 0.288</p><p>超过50至2 00的部分 0.318</p><p>超过200的部分 0.388</p><p> 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．</p><p>解析：高峰时段电费a＝500.568＋(200－50)0.598＝118.1(元)．</p><p>低谷时段电费b＝500.288＋(100－50)0.318＝30.3(元)．故该家庭本月应付的电费为a＋b＝148.4(元)．</p><p>答案：148.4</p><p>三、解答题(本大题共4小题，共50分)</p><p>15．(12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：M＝ 14x，N＝34x－1(x1)．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品 的资金投入分配应是多少？ 共能获得多大利润？</p><p>解：设投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为(8－x)万元，共获得利润</p><p>y＝M＋N＝14(8－x)＋34x－1.</p><p>令x－1＝t(07)，则x＝t2＋1，</p><p>y＝14(7－t2)＋34t＝－14(t－32)2＋2023.</p><p>故当t＝32时，可获最大利润2023万元．</p><p>此时，投入乙种商品的资金为134万元，</p><p>甲种商品的资金为194万元．</p><p>16．(12分)判断方程2ln x＋x－4＝0在(1，e)内是否存在实数解，若存在，有几个实数解？</p><p>解：令f(x)＝2ln x＋x－4.</p><p>因为f(1)＝2ln 1＋1－4＝－30，f(e)＝2ln e＋e－4＝e －20，</p><p>所以f(1)f(e)0.</p><p>又函数f(x)在(1，e)内的图像是连续不断的曲线，</p><p>所以函数f(x)在(1，e)内存在零点，即方程f(x)＝0在(1，e)内存在实数解．</p><p>由于函数f(x)＝2ln x＋x－4在定义域(0，＋)上为增函数，所以函数f(x)在(1，e)内只存在唯一的一个零点．</p><p>故方程2ln x＋x－4＝0在(1，e)内只存在唯一的实数解．</p><p>17．(12分)某商品在近100天内，商品的单价f(t)(元)与时间t(天)的函数关系式如下：</p><p>f(t)＝t4＋22，040，tZ，－t2＋52， 20230，tZ.</p><p>销售量g(t)与时间t(天)的函数关系式是</p><p>g(t)＝－t3＋2023(2023，tZ)．</p><p>求这种商品在这100天内哪一天的销售额最高？</p><p>解：依题意，该商品在近100天内日销售额F(t)与时间t(天)的函数关系式为F(t)＝f(t)g(t)</p><p>＝t4＋22－t3＋2023，040，tZ，－t2＋52－t3＋2023， 20230，tZ.</p><p>(1)若040，tZ，则</p><p>F(t)＝(t4＋22)(－t3＋2023)</p><p>＝－112(t－12)2＋2 2023，</p><p>当t＝12时，F(t)max＝2 2023(元)</p><p>(2)若20230，tZ，则</p><p>F(t)＝(－t2＋52)(－t3＋2023)</p><p>＝16(t－108)2－83，</p><p>∵t＝202300，</p><p>F(t)在(40,100]上递减，</p><p>当t＝41时，F(t)max＝745.5.</p><p>∵2 2023745.5，</p><p>第12天的日销售额最高．</p><p>18．(14分)某商场经营一批进价为12元/个的小商品．在4天的试销中，对此商品的单价(x)元与相应的日销量y(个)作了统计，其数据如下：</p><p>x 16 20 24 28</p><p>y 42 30 18 6</p><p>(1)能否找到一种函数，使它反映y关于x的函数关系？若能，写出函数解析式；</p><p>(2)设经营此商品的日销售利润为P(元)，求P关于x的函数解析式，并指出当此商品的销售价每个为多少元时，才能使日销售利润P取最大值？最大值是多少？</p><p>解： (1)由已知数据作图如图，</p><p>观察x，y的关系，可大体看到y是x的一次函数，令</p><p>y＝kx＋b.当x＝16时，y＝42；x＝20时，y＝30.</p><p>得42＝16k＋b，①30＝20k＋b， ②</p><p>由②－①得－12＝4k，</p><p>k＝－3，代入②得b＝90.</p><p>所以y＝－3x＋90，显然当x＝24时，y＝18；</p><p>当x＝28时，y＝6.</p><p>对照数据，可以看到y＝－3x＋90即为所求解析式；</p><p>(2)利润P＝(x－12)(－3x＋90)＝－3x2＋126x－1 080＝－3(x－21)2＋243.</p><p>∵二次函数开口向下，</p><p>当x＝21时，P最大为243.</p><p>即每件售价为21元时，利润最大，最大值为243元．</p>
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