高中数学对数练习题（附答案）
<p>数学必修1(苏教版)</p><p>2.3对 数 函 数</p><p>2．3.1对数</p><p>2023年我国国民经济生产总值为a亿元，若按平均每年增长10%估算，那么经过多少年国民经济生产总值是2023年的2倍？假设经过x年，则有a(1＋10%)x＝2a，即1.1x＝2，那么如何求指数x呢？</p><p>基础巩固</p><p>1．(2023浙江卷)已知x、y为正实数，则()</p><p>A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y</p><p>B．2lg(x＋y)＝2lg x2lg y</p><p>C．2lg xlg y＝2lg x＋2lg y</p><p>D．2lg(xy)＝2lg x2lg y</p><p>答案：D</p><p>2．(log29)(log34)＝()</p><p>A.14 B.12 C．2 D．4</p><p>解析：原式＝lg 9lg 2lg 4lg 3＝2lg 32lg 2lg 2lg 3＝4.</p><p>答案：D</p><p>3． )(3－22)＝()</p><p>A．2 B．4 C．－2 D．－4</p><p>解析：∵3－22＝(2－1)2＝12＋12＝(2＋1)－2.</p><p>原式＝－2.</p><p>答案：C</p><p>4．设log83＝p，log35＝q，则lg 5为()</p><p>A．p2＋q2 B.15(3p＋2q)</p><p>C.3pq1＋3pq D．pq</p><p>解析：由题知lg 3lg 8＝p，</p><p>p＝lg 33lg 2，q＝lg 5lg 3，</p><p>lg 5＝qlg 3＝q(3plg 2)＝3pqlg 105＝3pq(1－lg 5)，</p><p>即：lg 5＝3pq－3pqlg 5，lg 5＝3pq1＋3pq.</p><p>答案：C</p><p>5．若y＝log56log67log78log89log910，则y＝()</p><p>A．1＋log25 B．1＋log52</p><p>C．1－log25 D．1－log52</p><p>解析：由题知y＝lg 6lg 5lg 7lg 6lg 8lg 7lg 9lg 8lg 10lg 9＝lg 10lg 5＝log510＝1＋log52.</p><p>答案：B</p><p>6．若a0且a1，x0，nN＋，则下列各式中恒成立的有________个．</p><p>①(logax)n＝nlogax ②(logax)n＝logaxn</p><p>③logax＝－loga1x ④logax－yx＋y＝－logax＋yx－y</p><p>答案：2</p><p>7．已知01,01，如果 ，则x的取值范围是________．</p><p>解析：由01得logb(x－2)0，由01得0x－223.</p><p>答案：(2,3)</p><p>8．x＝log23,4y＝83，则x＋2y的值为________．</p><p>解析：∵4y＝83，22y＝83，</p><p>2y＝log283，x＋2y＝log23＋log283＝log28＝3.</p><p>答案：3</p><p>9．若f(x)＝ ，且f(lg a)＝10，求a的值．</p><p>解析：由f(lg a)＝10得 －12＝10，两边取常用对数得(lg a)2－12lg a＝lg 10，即2(lg a)2－lg a－1＝0.</p><p>lg a＝1或lg a＝－12，故a＝10或2023.</p><p>能力提升</p><p>10．(lg 5)2＋lg 2lg 50＝()</p><p>A．1 B．2 C．5 D．10</p><p>解析：原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 2lg 5＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.</p><p>答案：A</p><p>11．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，则 ＝()</p><p>A.14 B.12 C．1 D．2</p><p>解析：由韦达定理，lg a＋lg b＝2，lg alg b＝12，</p><p>lg ab2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg alg b＝22－412＝2.</p><p>答案：D</p><p>12．设a、b、c都是正数，且3a＝4b＝6c，则()</p><p>A.1c＝1a＋1b B.2c＝2a＋1b</p><p>C.1c＝2a＋2b D.2c＝1a＋2b</p><p>解析：设3a＝4b＝6c＝t，则a＝log3t，b＝log4t，</p><p>c＝log6t.</p><p>1a＝logt3，1b＝logt4，1c＝logt6.</p><p>2a＋1b＝logt9＋logt4＝2logt6＝2c.</p><p>答案：B</p><p>13．若2m＝3n＝36，则1m＋1n＝________.</p><p>解析：∵2m＝3n＝36，m＝log236，n＝log336，</p><p>从而：1m＋1n＝log362＋log363＝log366＝12.</p><p>答案：12</p><p>14．(2023上海卷)方程33x－1＋13＝3x－1的实数解为________．</p><p>解析：去分母整理得32x－23x－8＝03x＝4</p><p>x＝log34.</p><p>答案：log34</p><p>15．已知log5＝0，则x＝________.</p><p>答案：81</p><p>16．计算：1－log632＋log62log618log64.</p><p>解析：</p><p>原式＝1－2log63＋log632＋log663log663log64</p><p>＝1－2log63＋log632＋1－log631＋log63log64</p><p>＝1－2log63＋log632＋1－log632log64</p><p>＝21－log632log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.</p><p>17．甲、乙两人解关于x的方程：log2x＋b＋clogx2＝0，甲写错了常数b，得到根14、18；乙写错了常数c，得到根12、64.求原方程的根．</p><p>解析：原方程可变形为log22x＋blog2x＋c＝0.</p><p>由于甲写错了常数b，得到的根为14和18，</p><p>c＝log214log218＝6.</p><p>由于乙写错了常数c，得到的根为12和64，</p><p>b＝－log212＋log264＝－5.</p><p>故原方程为log22x－5log2x＋6＝0.</p><p>因式分解得(log2x－2)(log2x－3)＝0.</p><p>log2x＝2或log2x＝3，即x＝4或x＝8.</p><p>点评：此题取材与学生生活密切相关，将对数与一元二次方程结合．本题在解答时，利用了一元二次方程根与系数的关系，即x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.已知二次项系数为1方程的根为x1、x2时，方程可写成(x－x1)(x－x2)＝x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.</p><p>18．已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求lg xy的值．</p><p>解析：由lg x＋lg y＝2lg (x－2y)得xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，化为 －5xy＋4＝0，解得xy＝4或xy＝1，又∵x0，y0，x－2y0，xy2，故xy＝4， xy＝ 4＝ (2)4＝4.</p>
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