高中数学几类不同增长的函数模型训练题（有答案新人教A版必修1）
<p>高一数学几类不同增长的函数模型训练题（有答案新人教A版必修1）</p><p>一、选择题</p><p>1．下列函数中，增长速度最慢的是()</p><p>A．y＝6x B．y＝log6x</p><p>C．y＝x6 D．y＝6x</p><p>[答案]B</p><p>2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()</p><p>A．y＝50(xZ) B．y＝1 000x</p><p>C．y＝0.42x－1 D．y＝2023 000ex</p><p>[答案]D</p><p>[解析]指数函数增长速度最快，且e2，因而ex增长最快．</p><p>3．(2023～2023长沙高一检测)如图，能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围是()</p><p>A．x＞0 B．x＞2</p><p>C．x＜2 D．0＜x＜2</p><p>[答案]D</p><p>4．以下四种说法中，正确的是()</p><p>A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快</p><p>B．对任意的x＞0，xn＞logax</p><p>C．对任意的x＞0，ax＞logax</p><p>D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax</p><p>[答案]D</p><p>[解析]对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．</p><p>5．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：</p><p>x 1 3 5 7 9 11</p><p>y1 5 135 625 2023 2023 2023</p><p>y2 5 29 245 2023 20235 202349</p><p>y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4</p><p>则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为()</p><p>A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3</p><p>C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2</p><p>[答案]C</p><p>[解析]通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.</p><p>6．四个人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(i{1,2,3,4})和时间x(x＞1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()</p><p>A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x</p><p>C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x</p><p>[答案]D</p><p>[解析]显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.</p><p>二、填空题</p><p>7．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．</p><p>[答案]甲</p><p>8．某食品加工厂生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为________．</p><p>[答案](1＋p)12－1</p><p>9．在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(分)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示：现给出下列说法________</p><p>①前5分钟温度增加越来越快；</p><p>②前5分钟温度增加越来越慢；</p><p>③5分钟后温度保持匀速增加；</p><p>④5分钟后温度保持不变．</p><p>[答案]②③</p><p>[解析]前5分钟，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；</p><p>5分钟后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加．故说法②③正确．</p><p>三、解答题</p><p>10．(2023～2023沈阳高一检测)某种新栽树木5年成材，在此期间年生长率为20%，以后每年生长率为x%(x＜20)．树木成材后，既可以砍伐重新再栽，也可以继续让其生长，哪种方案更好？</p><p>[解析]只需考虑10年的情形．设新树苗的木材量为Q，则连续生长10年后木材量为：Q(1＋20%)5(1＋x%)5,5年后再重栽的木才量为2Q(1＋20%)5，画出函数y＝(1＋x%)5与y＝2的图象，用二分法可求得方程(1＋x%)5＝2的近似根x＝14.87，故当x＜14.87时就考虑重栽，否则让它继续生长．</p><p>11．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有a升水，水桶乙中无水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y＝ae－nt，假设过5分钟时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲中的水只有a8.</p><p>[解析]由题意得，ae－5n＝a－ae－5n，即e－5n＝12，设再过t分钟水桶甲中的水只有a8，得ae－n(t＋5)＝a8，</p><p>所以(12)t＋55＝(e－5n)t＋55＝e－n(t＋5)＝18＝(12)3，</p><p>t＋55＝3，</p><p>t＝10.</p><p>再过10分钟水桶甲中的水只有a8.</p><p>12．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54,58.为了预测以后各月的患 病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝pqx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？</p><p>[解析]依题意：</p><p>得a12＋b1＋c＝52，a22＋b2＋c＝54，a32＋b3＋c＝58，</p><p>即a＋b＋c＝52，4a＋2b＋c＝54，9a＋3b＋c＝58，解得a＝1，b＝－1，c＝52.</p><p>甲：y1＝x2－x＋52，</p><p>又pq1＋r＝52①pq2＋r＝54②pq3＋r＝58③</p><p>①－②，得pq2－pq1＝2 ④</p><p>②－③，得pq3－pq2＝4 ⑤</p><p>⑤④，得q＝2，</p><p>将q＝2代入④式，得p＝1，</p><p>将q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，</p><p>乙：y2＝2x＋50，</p><p>计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66；</p><p>当x＝5时，y1＝72，y2＝82；</p><p>当x＝6时，y1＝82，y2＝114.</p><p>可见，乙选择的模型较好．</p>
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