高中数学函数的单调性的概念过关检测试题及答案
<p>训练12 函数的单调性的概念</p><p>基础巩固 站起来，拿得到！</p><p>1.若函数f(x)在区间［m,n］上是增函数,在区间［n,k］上也是增函数,则函数f(x)在区间(m,k)上( )</p><p>A.必是减函数 B.是增函数或减函数</p><p>C.必是增函数 D.未必是增函数或减函数</p><p>答案：C</p><p>解析：任取x1、x2(m,k),且x1x2,</p><p>若x1、x2(m,n］,则f(x1)f(x2),</p><p>若x1、x2［n,k),则f(x1)f(x2),</p><p>若x1(m,n］,x2(n,k),则x1x2.</p><p>f(x1)f(x2).</p><p>f(x)在(m,k)上必为增函数.</p><p>2.函数f(x)=x2+4ax+2在(-,6)内递减,那么实数a的取值范围是( )</p><p>A.a B.a C.a D.a-3</p><p>答案：D</p><p>解析：∵- =-2a6,a-3.</p><p>3.若一次函数y=kx+b(k0)在(-,+)上是单调增函数,那么点(k,b)在直角坐标平面的( )</p><p>A.上半平面 B.下半平面</p><p>C.左半平面 D.右半平面</p><p>答案：D</p><p>解析：易知k0,bR,(k,b)在右半平面.</p><p>4.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( )</p><p>A.y=-x+1 B.y=</p><p>C.y=x2-4x+5 D.y=</p><p>答案：B</p><p>解析：C中y=(x-2)2+1在(0,2)上为减函数.</p><p>5.函数y= 的单调递增区间是___________,单调递减区间是_____________.</p><p>答案：［-3,- ］ ［- ,2］</p><p>解析：由-x2-x-60,即x2+x-60,解得-32.</p><p>y= 的定义域是［-3,2］.</p><p>又u=-x2-x+6的对称轴是x=- ,</p><p>u在x［-3,- ］上递增,在x［- ,2］上递减.</p><p>又y= 在［0,+］上是增函数,y= 的递增区间是［-3,- ］,递减区间［- ,2］.</p><p>6.函数f(x)在定义域［-1,1］上是增函数,且f(x-1)f(x2-1),则x的取值范围是_____________.</p><p>答案：1</p><p>解析：依题意 1 .</p><p>7.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)= 0,又g(x)=f(x)+c(c为常数),在［a,b］上是单调递增函数,判断并证明g(x)在［-b,-a］上的单调性.</p><p>解：任取x1、x2［-b,-a］且-bx2-a,</p><p>则g(x1)-g(x2)=f(x1)-f(x2)= .</p><p>∵g(x)=f(x)+c在［a,b］上是增函数,</p><p>f(x)在［a,b］上也是增函数.</p><p>又b-x2a,</p><p>f(-x1)f(-x2).</p><p>又f(-x1),f(-x2)皆大于0,g(x1)-g(x2)0,即g(x1)g(x2).故g(x)在［-b,-a］上是单调增函数.</p><p>能力提升 踮起脚,抓得住!</p><p>8.设函数f(x)在(-,+)上是减函数,则下列不等式正确的是( )</p><p>A.f(2a)f(a) B.f(a2)f(a)</p><p>C.f(a2+a)f(a) D.f(a2+1)f(a)</p><p>答案：D</p><p>解析：∵a2+1-a=(a- )2+ 0,</p><p>a2+1a.函数f(x)在(-,+)上是减函数.</p><p>f(a2+1)f(a).</p><p>9.若f(x)=x2+bx+c,对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么( )</p><p>A.f(1)f(4) B.f(4)f(1)</p><p>C.f(2)f(4) D.f(2)f(1)</p><p>答案：C</p><p>解析：∵对称轴x=- =2,b=-4.</p><p>f(1)=f(3)f(4).</p><p>10.已知函数f(x)=x3-x在(0,a］上递减,在［a,+)上递增,则a=____________</p><p>答案：</p><p>解析：设0x2,</p><p>f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22-1),</p><p>当0x2 时,x1-x20,x12+x1x2+x22-10,则f(x1)f(x2).</p><p>同理,可证 x2时,f(x1)f(x2),故f(x)在(0, )上递减,在［ ,+］上递增,故?a= .</p><p>11.函数f(x)=|x2-2x-3|的增区间是_________________.</p><p>答案：(-1,1),(3,+)</p><p>解析：f(x)= 画出图象易知.</p><p>12.证明函数f(x)= -x在其定义域内是减函数.</p><p>证明:∵函数f(x)的定义域为(-,+),</p><p>设x1、x2为区间(-,+)上的任意两个值且x1x2,则f(x1)= -x1,f(x2)= -x2,</p><p>f(x2)-f(x1)= - -(x2-x1)= -(x2-x1)</p><p>=(x2-x1) =(x2-x1) .</p><p>∵x2x1,x2-x10且 + 0.</p><p>又∵对任意xR,都有=|x|x,有 x,即有x- 0.</p><p>x1- 0,x2- 0.</p><p>f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1).</p><p>函数f(x)= -x在其定义域R内单调递减.</p><p>13.设函数f(x)对于任意x、yR,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在(-,+)上单调递减,若 f(x2)-f(x) f(bx)-f(b),求x的范围.</p><p>解：∵f(x+y)=f(x)+f(y)(x、yR),</p><p>2f(x)=f(x)+f(y)=f(2x).</p><p>同理,2f(b)=f(2b).</p><p>由 f(x2)-f(x) f(bx)-f(b),</p><p>得f(x2)+2f(b)f(bx)+2f(x),</p><p>即f(x2)+f(2b)f(bx)+f(2x).</p><p>即f(x2+2b)f(bx+2x).</p><p>又∵f(x)在(-,+)上单调递减,</p><p>x2+2bbx+2x.</p><p>x2-(b+2)x+2b0.</p><p>x2-(b+2)x+2b=(x-2)(x-b)0.</p><p>当b2时,得2</p><p>当b2时,得b</p><p>当b=2时,得x .</p><p>拓展应用 跳一跳,够得着!</p><p>14.设函数f(x)是(-,+)上的减函数,则f(2x-x2)的单调增区间是( )</p><p>A.(-,2) B.［-2,+］ C.(-,-1] D.［1,+)</p><p>答案：D</p><p>解析：令t=g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1知:当x1时,函数g(x)单调递减;当x1时,函数g(x)单调递增.又因函数f(t)在(-,+)上递减,故f(2x-x2)的单调减区间为(-,1],增区间为［1,+).</p><p>15.老师给出一个函数y=f(x),四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质:</p><p>甲:对于xR,都有f(1+x)=f(1-x);</p><p>乙:在(-,0］上函数递减;</p><p>丙:在(0,+)上函数递增;</p><p>丁:f(0)不是函数的最小值.</p><p>如果其中恰有三人说得正确,请写出一个这样的函数:________________.</p><p>答案：f(x)=(x-1)2(不唯一)</p><p>解析：f(x)=(x-1)2(答案不唯一,满足其中三个且另一个不满足即可).</p><p>f(1+x)=f(1-x)表示对称轴方程为x=1.</p><p>16.已知函数f(x)= ,x［1,+).</p><p>(1)当a= 时,求函数f(x)的最小值;</p><p>(2)若对任意x［1,+),f(x)0恒成立,求实数a的取值范围.</p><p>解：(1)当a= 时,f(x)=x+ +2,设1x2,</p><p>则f(x2)-f(x1)=x2+ -(x1+ )= .</p><p>因为1x2,所以x2-x10,2x1x2-10,2x1x20 f(x2)-f(x1)0,</p><p>即f(x)在［1,+］上单调递增,f(x)min=f(1)=1+ +2= .</p><p>(2)x［1,+］,f(x)0恒成立 x2+2x+a0恒成立,即a-x2-2x恒成立,又y=-x2-2x=</p><p>-(x+1)2+1-3,所以a-3.</p>
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