meili 发表于 2022-10-14 16:09:53

高中数学互为反函数的函数图象间的关系过关检测试题及答案

<p>训练15 互为反函数的函数图象间的关系</p><p>基础巩固 站起来,拿得到!</p><p>1.点(3,5)在函数y=ax+b的图象上,又在其反函数的图象上,则a、b的值分别为( )</p><p>A.a=-1,b=7 B.a=-1,b=-8 C.a=-1,b=8 D.以上都不对</p><p>答案:C</p><p>解析:由已知得点(3,5)和点(5,3)在直线y=ax+b上,</p><p>2.已知f(x)= 的图象关于直线y=x对称,则a的取值是( )</p><p>A.-1 B.1 C.-2 D.0</p><p>答案:A</p><p>解析:由y= ,得x= ,故f-1(x)= ,因函数f(x)的图象关于直线y=x对称,则f(x)与其反函数f-1(x)为同一函数,易得a=-1.</p><p>3.如图,设函数y=1- (-10),则函数y=f-1(x)的图象是图中的( )</p><p>答案:B</p><p>解析:易知点(- ,1- )在原函数图象上,故(1- ,- )在其反函数图象上,首先排除A、C,又1-,故点(1- ,- )在直线x= 左边,排除D,选B.</p><p>4.(四川成都模拟)已知f(x)= ,且f-1(x-1)的图象的对称中心是(0,3),则a的值为( )</p><p>A. B.2 C. D.3</p><p>答案:B</p><p>解析:f-1(x)= ,f-1(x-1)= ,其对称中心是(0,a+1),a+1=3 a=2.</p><p>5.已知函数f(x)存在反函数,若点(a,b)在f(x)的图象上,则下列各点中必在其反函数图象上的点是( )</p><p>A.(f-1(b),b) B.(a,f-1(a))</p><p>C.(f(a),f-1(b)) D.(f-1(b),f(a))</p><p>答案:C</p><p>解析:由(a,b)在y=f(x)图象上,则(b,a)在y=f-1(x)图象上,且b=f(a),则a=f-1(b).</p><p>6.设函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,且f(x)=(x-1)2(x1),则g(x)=____________.</p><p>答案:1- (x0)</p><p>解析:由已知得函数y=g(x)为y=f(x)的反函数,由y=(x-1)2(x1),得x=1- ,故g(x)=f-1(x)=1- (x0).</p><p>7.试求函数y=1+2x-x2(x1)和它的反函数的图象的交点.</p><p>解:由y=1+2x-x2(x1)求得其反函数为y=1+ (x2),</p><p>由</p><p>得1+2x-x2=1+ (12),</p><p>即2x-x2= ,</p><p>则x(2-x)= ,x( )2= ,</p><p>2-x=0或x =1.</p><p>x=2或x2(2-x)=1.</p><p>由x2(2-x)=1,得2x2-x3=1,</p><p>即(x2-1)+(x2-x3)=0,</p><p>(x-1)(x+1-x2)=0,</p><p>x=1或x= .</p><p>∵12,</p><p>x=2或x=1或x= .</p><p>y=f(x)和y=f-1(x)的交点有3个,分别是(1,2)、(2,1)、( , ).</p><p>能力提升 踮起脚,抓得住!</p><p>8.对于[0,1]上所有x的值,函数f(x)=x2与其反函数f-1(x)的相应函数值一定成立的关系式为( )</p><p>A.f(x)f-1(x) B.f(x)f-1(x)</p><p>C.f(x)f-1(x) D.f(x)=f-1(x)</p><p>答案:B</p><p>解析:结合f(x)与f-1(x)图象即得.</p><p>9.函数y=f(x)在[-1,2]上的图象如图所示,则f-1(x)x+1的解集为( )</p><p>A.[-1,0] B.[0,1]</p><p>C.[-1,- ] D.[-1,2]</p><p>答案:C</p><p>解析:由已知图象易得f(x)=</p><p>故f-1(x)=</p><p>(1)当01时,f-1(x)x+1 x-1x+ 1x .</p><p>(2)当-10时,f-1(x)x+1 -2xx+1 x- ,-1- .由(1)(2)知所求解集为[-1,- ].</p><p>10.点P在f(x)=1+ 的图象上,又在其反函数的图象上,则P点的坐标为____________.</p><p>答案:(2,2)</p><p>解析:设点P的坐标为(a,b),</p><p>由已知 解得</p><p>11.函数y= (x-1)的图象与其反函数的图象的交点坐标为_________________.</p><p>答案:(0,0),(1,1)</p><p>解析:由y= ,得x= .</p><p>由x-1,得 1,即y2.</p><p>其反函数为f-1(x)= (x2).</p><p>由 得</p><p>12.已知函数f(x)= ,</p><p>(1)求反函数f-1(x);</p><p>(2)研究f-1(x)的单调性;</p><p>(3)在同一坐标系中,画出f(x)与f-1(x)的图象.</p><p>解:(1)∵f(x)= =y,</p><p>x+5=y2,且y0.</p><p>x=y2-5.</p><p>则f(x)= 的反函数为y=f-1(x)=x2-5(x0).</p><p>(2)由二次函数的图象知当x0时,f-1(x)为增函数.</p><p>(3)图象如图所示.</p><p>13.已知函数f(x)=2x2-4x+1,x[-1,0].</p><p>(1)求f-1(x);</p><p>(2)作出y=f(x)和y=f-1(x)的图象,并判断其单调性;</p><p>(3)解不等式:f-1(7x)f-1(x+1).</p><p>解:(1)设y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1,</p><p>2(x-1)2=y+1.</p><p>∵x[-1,0],x-1[-2,-1].</p><p>x-1=- .</p><p>f-1(x)=1- ,x[1,7].</p><p>(2)y=f(x)和y=f-1(x)的图象见图.</p><p>∵y=f(x)在[-1,0]上是减函数,</p><p>y=f-1(x)在[1,7]上是减函数.</p><p>(3)由(2)知y=f-1(x)在[1,7]上是减函数,</p><p>∵f-1(7x)f-1(x+1),</p><p>7x+11.解得 1,</p><p>即原不等式的解集为{x| 1}.</p><p>拓展应用 跳一跳,够得着!</p><p>14.已知函数f(x)的图象过点(0,1),则f(4-x)的反函数的图象过点( )</p><p>A.(1,4) B.(4,1) C.(3,0) D.(0,3)</p><p>答案:A</p><p>解析:∵f(x)的图象过点(0,1),</p><p>f(0)=1,即f(4-4)=1.</p><p>f(4-x)图象过点(4,1).</p><p>f(4-x)的反函数图象过点(1,4).</p><p>15.设函数f(x)= ,已知函数y=g(x)的图象与y=f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称,则g(3)=______________.</p><p>答案:</p><p>解析:y=f-1(x+1) x+1=f(y) x=f(y)-1,</p><p>故y=f-1(x+1)的反函数为g(x)=f(x)-1= ,则g(3)= .</p><p>16.已知函数f(x)= .</p><p>(1)证明函数f(x)在定义域上有反函数,并求出反函数;</p><p>(2)反函数的图象与直线y=x有无交点?</p><p>(1)证明:∵f(x)的定义域为正实数集,</p><p>当0x2时,f(x1)-f(x2)=( )-( )=( )(1+ )0.</p><p>f(x1)f(x2),即f(x)在(0,+)上是增函数.</p><p>f(x)有反函数.当x(0,+)时, (-,+).反函数的定义域为R.</p><p>由y= ,得x-y -1=0.</p><p>解得 = .∵y ,</p><p>y- 0.而 0,</p><p>= ,x= (y+ )2.</p><p>f-1(x)= (x+ )2(xR).</p><p>(2)解:y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于y=x对称,故只需判断y=f(x)与y=x有无交点.</p><p>由 得x= .</p><p>x(1- )=1.</p><p>当01时,01.0x(1- )1,此时方程无实数根.</p><p>当x1时,x(1- )0,方程无实根.</p><p>y=f(x)与y=x无交点.</p><p>从而y=f-1(x)与y=x无交点.</p>
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