高中数学数系的扩充与复数的引入测试题及答案
<p>高二数学数系的扩充与复数的引入苏教版</p><p>【本讲教育信息】</p><p>一. 教学内容：</p><p>数系的扩充与复数的引入</p><p>二. 本周教学目标：</p><p>1. 回顾数系的扩充过程，体会数的概念是逐步发展的，了解引入复数的必要性。</p><p>2. 理解复数的概念及复数的代数表示，掌握复数相等的充要条件。</p><p>3. 掌握复数代数形式的代数表示，能进行复数代数形式的四则运算。</p><p>4. 理解复数的几何意义，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。</p><p>［知识要点］</p><p>一. 复数的定义</p><p>1. 复数的定义：形如 的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。</p><p>说明</p><p>（1）虚数单位 ：（1）它的平方等于－1，即 ；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。</p><p>（2） 与－1的关系： 就是－1的一个平方根，即方程x2＝－1的一个根，方程x2＝－1的另一个根是－ 。</p><p>（3） 的周期性： 4n＋1＝i， 4n＋2＝－1， 4n＋3＝－i， 4n＝1。</p><p>（4）复数的代数形式： 复数通常用字母z表示，即 ，把复数表示成a＋bi的形式，叫做复数的代数形式。</p><p>（5）复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数 ，当且仅当b＝0时，复数a＋bi（a、bR）是实数a；当b0时，复数z＝a＋bi叫做虚数；当a＝0且b0时，z＝bi叫做纯虚数；当且仅当a＝b＝0时，z就是实数0。</p><p>（6）复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C。</p><p>（7）两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：如果a，b，c，dR，那么a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d。</p><p>一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小。只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小。</p><p>二. 复数的四则运算</p><p>1. 复数z1与z2的加法法则：z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i。</p><p>复数的加法运算满足交换律： z1＋z2＝z2＋z1。</p><p>复数的加法运算满足结合律： （z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）。</p><p>2. 复数z1与z2的减法法则：z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i。</p><p>3. 乘法运算规则：</p><p>规定复数的乘法按照以下的法则进行：</p><p>设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a、b、c、dR）是任意两个复数，那么它们的积（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i。</p><p>其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。</p><p>乘法运算律：</p><p>（1）z1（z2z3）＝（z1z2）z3</p><p>（2）z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3</p><p>（3）z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3</p><p>4. 复数除法定义：满足（c＋di）（x＋yi）＝（a＋bi）的复数x＋yi（x，yR）叫复数a＋bi除以复数c＋di的商，记为：（a＋bi） （c＋di）或者</p><p>三. 复数的几何意义</p><p>复平面、实轴、虚轴：</p><p>点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi（a、bR）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。</p><p>实轴上的点都表示实数</p><p>对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0，0）， 它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。</p><p>复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即</p><p>复数 复平面内的点</p><p>这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。</p><p>这就是复数的一种几何意义。也是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。</p><p>【典型例题】</p><p>例1. 实数m取什么数值时，复数z＝m＋1＋（m－1）i是：</p><p>（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？</p><p>分析：因为mR，所以m＋1，m－1都是实数，由复数z＝a＋bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值。</p><p>解：（1）当m－1＝0，即m＝1时，复数z是实数；</p><p>（2）当m－10，即m1时，复数z是虚数；</p><p>（3）当m＋1＝0，且m－10时，即m＝－1时，复数z 是纯虚数。</p><p>例2. 已知（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，其中x，yR，求x与y。</p><p>解：根据复数相等的定义，得方程组 ，所以x＝ ，y＝4</p><p>例3. 计算：（5－6i）＋（－2－i）－（3＋4i）</p><p>解：（5－6i）＋（－2－i）－（3＋4i）＝（5－2－3）＋（－6－1－4） i＝－11 i。</p><p>例4. 计算：（1－2i）＋（－2＋3i）＋（3－4i）＋（－4＋5i）＋…＋（－2023＋2023i）＋（2023－2023i）</p><p>解法一：原式＝（1－2＋3－4＋…－2023＋2023）＋（－2＋3－4＋5＋…＋2023－2023）i＝（2023－2023）＋（2023－2023）i＝2023－2023i。</p><p>解法二：∵（1－2i）＋（－2＋3i）＝－1＋i，</p><p>（3－4i）＋（－4＋5i）＝－1＋i，</p><p>……</p><p>（2023－2023i）＋（－2023＋2023）i＝－1＋i。</p><p>相加得（共有2023个式子）：</p><p>原式＝2023（－1＋i）＋（2023－2023i）</p><p>＝（2023－2023）＋（2023－2023）i＝2023－2023i</p><p>例5. 计算（1－2i）（3＋4i）（－2＋i）</p><p>解：（1－2i）（3＋4i）（－2＋i）＝（11－2i） （－2＋i）＝ －20＋15i。</p><p>例6. 计算</p><p>解：</p><p>。</p><p>例7. 计算</p><p>解：</p><p>例8. 已知z是虚数，且z＋ 是实数，求证： 是纯虚数。</p><p>证明：设z＝a＋bi（a、bR且b0），于是</p><p>z＋ ＝a＋bi＋ ＝a＋bi＋ 。</p><p>∵z＋ R，b－ ＝0。</p><p>∵b0，a2＋b2＝1。</p><p>∵b0，a、bR， 是纯虚数。</p><p>【模拟试题】</p><p>1. 设集合C＝｛复数｝，A＝｛实数｝，B＝｛纯虚数｝，若全集S＝C，则下列结论正确的是（ ）</p><p>A. AB＝C B. A＝B C. A B＝ D. B B＝C</p><p>2. 复数（2x2＋5x＋2）＋（x2＋x－2）i为虚数，则实数x满足（ ）</p><p>A. x＝－ B. x＝－2或－ C. x－2 D. x1且x－2</p><p>3. 已知集合M＝｛1，2，（m2－3m－1）＋（m2－5m－6）i｝，集合P＝｛－1，3｝。MP＝｛3｝，则实数m的值为（ ）</p><p>A. －1 B. －1或4 C. 6 D. 6或－1</p><p>4. 设z＝3＋i，则 等于</p><p>A. 3＋i B. 3－i C. D.</p><p>5. 的值是</p><p>A. 0 B. i C. －i D. 1</p><p>6. 已知z1＝2－i，z2＝1＋3i，则复数 的虚部为</p><p>A. 1 B. －1 C. i D. －i</p><p>7. 计算（－ ＝____。</p><p>8. 计算：（2x＋3yi）－（3x－2yi）＋（y－2xi）－3xi＝________（x、yR）。</p><p>9. 计算（1－2i）－（2－3i）＋（3－4i）－…－（2023－2023i）。</p><p>【试题答案】</p><p>1. D 2. D</p><p>3. 解析：由题设知3M，m2－3m－1＋（m2－5m－6）i＝3</p><p>， m＝－1，故选A。</p><p>4. D 5. A 6. A</p><p>7. －2 i 8. （y－x）＋5（y－x）i</p><p>9. 解：原式＝（1－2＋3－4＋…＋2023－2023）＋（－2＋3－4＋…－2023＋2023）i</p><p>＝－2023＋2023i</p>
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