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meili 发表于 2022-10-14 16:09:52

高中数学函数的定义域测试题(含答案)

高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的定义域与值域、单调性与奇偶性二. 教学目标：理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。三. 教学重点：函数性质的运用．四. 教学难点：函数性质的理解。［学习过程］一、知识归纳：1. 求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法：①换元法（注意新元的取值范围）②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）③整体代换（配凑法）④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。2. 求函数的定义域求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.3. 求函数值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函数的值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函数）（4）函数的单调性：特别关注的图象及性质（5）部分分式法、判别式法（分式函数）（6）换元法（无理函数）（7）导数法（高次函数）（8）反函数法（9）数形结合法4. 求函数的单调性（1）定义法：（2）导数法：（3）利用复合函数的单调性：（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；（5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。5. 函数的奇偶性奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f（x）与f（－x）的关系。f（x）－f（－x）＝0 f（x）＝f（－x） f（x）为偶函数；f（x）+f（－x）＝0 f（x）＝－f（－x） f（x）为奇函数。判别方法：定义法，图象法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。6. 周期性：定义：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+T）＝f（x），则T为函数f（x）的周期。其他：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+a）＝f（x－a），则2a为函数f（x）的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。二、典型例题分析例1. 若集合A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1，b2} 求从集合A到集合B的映射的个数。分析：解决这类问题，关键是要掌握映射的概念：设A、B是两个集合，对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则f，若集合B中都有唯一确定的元素和它对应，这时对应法则f叫做从集合A到集合B的映射。这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。对于本例，集合A＝{a1，a2，a3}中的每一个元素的象都有b1或b2这两种情形，由乘法原理可知，A到B的映射的个数共有N＝222＝8个。例2. 线段|BC|＝4，BC的中点为M，点A与B、C两点的距离之和为6，设|AM|＝y，|AB|＝x，求y＝f（x）的函数表达式及这函数的定义域。解：1若A、B、C三点不共线，如图所示，由余弦定理可知，x2＝22+y2－4ycosAMB ①（6－x）2＝22+y2－4ycos（180－AMB） ②①+② x2+（6－x）2＝2y2+8 y2＝x2－6x+14又 x2－6x+14＝（x－3）2+5恒正，又三点A、B、C能构成三角形1＜x＜52若三点A、B、C共线，由题意可知，x+4＝6－x，x＝1 或4+6－x＝x x＝5综上所述：说明：第一，首先要分析三点A、B、C是否在同一条直线上，因为由题意，A、B、C不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线上，所以要分两种情形来讨论。第二，实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。例3. 设f（x）为定义在R上的偶函数，当x－1时，y＝f（x）的图象是经过点（－2，0），斜率为1的射线，又在y＝f（x）的图象中有一部分是顶点在（0，2），且过点（－1，1）的一段抛物线，试写出函数f（x）的表达式，并在图中作出其图象。解：（1）当x－1时，设f（x）＝x+b∵射线过点（－2，0） 0＝－2+b即b＝2，f（x）＝x+2（2）当－11时，设f（x）＝ax2+2∵抛物线过点（－1，1），1＝a（－1）2+2，即a＝－1f（x）＝－x2+2（3）当x1时，f（x）＝－x+2综上可知：f（x）＝作图由读者来完成。例4. 求下列函数的定义域（1）（2）解：（1）x4或x－1且x－3，即函数的定义域为（－，－3）（－3，－1）（2），则0x2－3x－108，即－3x＜－2或5＜x6即定义域为[－3，－2]（5，6）说明：求函数的定义域，我们常常可以从以下三个方面来考虑：若有分母则分母不为零、若有偶次根式则被开方数大于或等于零、若有对数式，则真数大于零、底数大于零且不等于1。求函数的定义域，实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集。变、已知函数f（x）的定义域为[－1，4]，求的定义域。解：，则又，或则或即为所求函数的定义域。说明：此题实质上是求复合函数的定义域，我们把看成是由y＝f（u）、两个函数复合而成的，因为－1u＜4，则，从而求出x的范围，另外，对不等式进行倒数运算时，应注意不等式两边必须同号，取倒数后不等号的方向改变，这里也是学习时常常容易发生错误的地方，应加以重视。例5. 若对于任何实数x，不等式：恒成立，求实数a的取值范围。解：令f（x）＝|x－1|+2|x－2|，去绝对值把f（x）表示成分段函数后为5－3x x＜1f（x）＝ 3－xx23x－5 x＞2作出y＝f（x）的图象如图，由此可知f（x）的最小值为1，f（x）＞a对一切实数x恒成立，则a＜1。说明：该题看上去是一个不等式的问题，若用去绝对值分类讨论的方法来求解则比较繁锁，而如果注意到不等式左边是一个关于x的函数，只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了问题，这种解题思想应引起我们的注意。另外，对于函数f（x）＝|x－1|+2|x－2|只要把它写成分段函数的形式，作出函数的图象，则该函数的所有性质，包括函数的单调区间，值域等一切问题都可以迎刃而解了。例6. 求函数的值域。解：令，则13－4x＝t2该二次函数的对称轴为t＝1，又t0由二次函数的性质可知y4，当且仅当t＝1即x＝3时等式成立，原函数的值域为（－，4）。说明：对于所有形如的函数，求值域时我们可以用换元法令转化为关于t的二次函数在区间，问题也就转化为三角函数求最值了。同样我们作三角换元时，要注意的限制条件，因为当取遍0到之间的每一个值时，恰好可以取遍－1到1之间的每一个值，若不限制的范围，则根号无法直接去掉，就会给我们解题增添麻烦。例7. 求下列函数的最值。（1）（2）解：（1）先求出函数的定义域：－27，又在区间[－2，7]上函数单调递增，单调递增，所以在定义域内也单调递增。当x＝－2时，；当x＝7时，（2）∵ 0 y2＝x2（1－x2）由基本不等式可知：y2＝x2（1－x2），又y，。说明：对于一些比较复杂的函数，求值域或最值时，如果我们能利用函数的单调性、奇偶性或运用基本不等式，问题往往会很快得到解决。在运用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”的条件，特别是要注意等号能否成立。例8. 设a＞0，x[－1，1]时函数y＝－x2－ax+b有最小值－1，最大值1，求使函数取得最小值和最大值时相应的x的值。解：∵a＞0，＜0，又定义域为[－1，1]x＝1时，即－1－a+b＝－1 a－b＝0下面分a的情形来讨论：1当0＞－1即0＜a2时，当时，即，则a2+4a－4＝0，又a（0，2），则2当＜－1，即a＞2时，当x＝－1时－1+a+b＝1，a+b＝2 又a＝b a＝1 与a＞2矛盾，舍去综上所述：x＝1时，，时。例9. 已知函数y＝f（x）＝（a，b，cR，a0，b0）是奇函数，当x0时，f（x）有最小值2，其中bN且f（1）（1）试求函数f（x）的解析式；（2）问函数f（x）的图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由解：（1）∵f（x）是奇函数，f（－x）＝－f（x），即c＝0，∵a0，b0，x0，f（x）＝ 2 ，当且仅当x＝时等号成立，于是2 ＝2，a＝b2，由f（1）＜得＜即＜，2b2－5b+2＜0，解得＜b＜2，又bN，b＝1，a＝1，f（x）＝x+（2）设存在一点（x0，y0）在y＝f（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2－x0，－y0）也在y＝f（x）的图象上，则消去y0得x02－2x0－1＝0，x0＝1y＝f（x）的图象上存在两点（1+ ，2 ），（1－，－2 ）关于（1，0）对称例10. 已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在［0，+）上是增函数，是否存在实数m，使f（cos2－3）+f（4m－2mcos）f（0）对所有［0，］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由解：∵f（x）是R上的奇函数，且在［0，+）上是增函数，f（x）是R上的增函数于是不等式可等价地转化为f（cos2－3）f（2mcos－4m），即cos2－32mcos－4m，即cos2－mcos+2m－2设t＝cos，则问题等价地转化为函数g（t）?＝t2－mt+2m－2＝（t－）2－ +2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g（t）在［0，1］上的最小值为正当 0，即m0时，g（0）＝2m－21与m0不符；当01时，即02时，g（m）＝－ +2m－204－2 4+2 ，?4－2 2当 1，即m2时，g（1）＝m－11 m2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m4－2另法（仅限当m能够解出的情况）cos2－mcos+2m－20对于［0，］恒成立，等价于m（2－cos2）/（2－cos）对于［0，］恒成立∵当［0，］时，（2－cos2）/（2－cos） 4－2 ，m4－2例11. 设a为实数，记函数f（x）＝a 的最大值为g（a）。（1）设t＝，求t的取值范围并把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）；（3）求满足g（a）＝g（）的所有实数a.解：（1）∵t＝要使t有意义，必须有1+x0且1－x0，即－11.∵t2＝2+2 ，t ……①t的取值范围是[ ，2]由①得＝ x2－1m（t）＝a（ t2－１）＋t＝ at2+t－a， t[ ，2]（2）由题意知g（a）即为函数m（t）＝ at2+t－a， t[ ，2]的最大值.注意到直线t＝－是抛物线m（t）＝ at2+t－a的对称轴，分下列情况讨论.当a0时，函数y＝m（t）， t[ ，2]的图像是开口向上的抛物线的一段，由t＝－ 0知m（t）在[ ，2]上单调递增，g（a）＝m（2）＝a+2.当a＝0时，m（t）＝t， t[ ，2]， g（a）＝2.当a0时，函数y＝m（t）， t[ ，2]的图像是开口向下的抛物线的一段，若有t＝－，即a－，则g（a）＝m（）＝ .若有t＝－（，2），即a ，则g（a）＝m（－）＝－a－ .若有t＝－，即a ，则g（a）＝m（2）＝a+2.综上有g（a）＝（3）当a－时，g（a）＝a+2 ，当时，－a ，，所以，g（a）＝ 2 ＝ .因此当a－时，g（a）.当a0时， 0，由g（a）＝g（）知a+2＝ +2解得a＝1.当a0时，＝1，因此a－1或－1，从而g（a）＝或g（）＝ .要使g（a）＝g（），必须有a－或－，即－－此时g（a）＝＝g（）.综上知，满足g（a）＝g（）的所有实数a为：－－或a＝1.【模拟试题】（一）选择题1. 设f（x）是（－，+）上的奇函数，f（x+2）＝－f（x），当01时，f（x）＝x，则f（7 5）等于（）A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.52. 已知定义域为（－1，1）的奇函数y＝f（x）又是减函数，且f（a－3）+f（9－a2）0，?则a的取值范围是（）A. （2 ，3） B. （3，） C. （2 ，4） D. （－2，3）3. 若函数f（x）＝（x ）在定义域内恒有f［f（x）］＝x，则m等于（）A. －3 B. C. － D. 34. 设函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，在x1时，f（x）＝（x+1）2－1，则x1时f（x）等于（）A. f（x）＝（x+3）2－1 B . f（x）＝（x－3）2－1C. f（x）＝（x－3）2+1 D. f（x）＝（x－1）2－15. 函数的值域是（）A. （－，1） B. C. （0，1） D. 6. 的值域是（）A. y－2 B. y－2 C. yR D. y0（二）填空题7. 若f（x）为奇函数，且在（0，+）内是增函数，又f（－3）＝0，则xf（x）0的解集为_________。8. 如果函数f（x）在R上为奇函数，在（－1，0）上是增函数，且f（x+2）＝－f（x），试比较f（），f（），f（1）的大小关系_________。（三）解答题9. （1）已知f（x）是一次函数，且f＝4x－1，求f（x）的解析式；（2）已知，求f（x）的解析式；10. 若函数的定义域为R，试求实数k的取值范围。11. 求下列函数的值域（1）（2）12. 定义在（－，4）上的减函数f（x）满足f（m－sinx）f（－ +cos2x）对任意xR都成立，求实数m的取值范围。13. 已知函数y＝f（x）＝（a，b，cR，a0，b0）是奇函数，当x0时，f（x）有最小值2，其中bN且f（1）（1）试求函数f（x）的解析式；（2）问函数f（x）图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。14. 已知函数y＝f（x）是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f（x）（－11）是奇函数，又知y＝f（x）在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x＝2时，函数取得最小值，最小值为－5 。（1）证明 f（1）+f（4）＝0；（2）试求y＝f（x），x［1，4］的解析式；（3）试求y＝f（x）在［4，9］上的解析式。【试题答案】1. B 2. A 3. D 4. B 5. C 6. A7. （－3，0）（0，3）8. f（）＜f（）＜f（1）9. （1）或f（x）＝－2x+1（2）10. 0k＜11. 解：（1）（－，lg5）（2）[ ， ]对xR恒成立m［，3］{ }13. 解：（1）∵f（x）是奇函数，f（－x）＝－f（x），即c＝0，∵a0，b0，x0，f（x）＝ 2 ，当且仅当x＝时等号成立，于是2 ＝2，a＝b2，由f（1）＜得＜即＜，2b2－5b+2＜0，解得＜b＜2，又bN，b＝1，a＝1，f（x）＝x+ 。（2）设存在一点（x0，y0）在y＝f（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2－x0，－y0）也在y＝f（x）图象上，则消去y0得x02－2x0－1＝0，x0＝1 。y＝f（x）图象上存在两点（1+ ，2 ），（1－，－2 ）关于（1，0）对。14. （1）证明：∵y＝f（x）是以5为周期的周期函数，f（4）＝f（4－5）＝f（－1），又y＝f（x）（－11）是奇函数，f（1）＝－f（－1）＝－f（4），f（1）+f（4）＝0（2）解：当x［1，4］时，由题意，可设f（x）＝a（x－2）2－5（a0），由f（1）+f（4）＝0得a（1－2）2－5+a（4－2）2－5＝0，解得a＝2，f（x）＝2（x－2）2－5（14）（3）解：∵y＝f（x）（－11）是奇函数，f（0）＝－f（－0），f（0）＝0，又y＝f（x）（01）是一次函数，可设f（x）＝kx（01），∵f（1）＝2（1－2）2－5＝－3， f（1）＝k1＝k，k＝－3当01时，f（x）?＝－3x，当－1x＜0时，f（x）＝－3x，当46时，－1x－51，f（x）＝f（x－5）＝－3（x－5）＝－3x+15，?当6＜x9时，1＜x－54，f（x）＝f（x－5）＝2［（x－5）－2］2－5＝2（x－7）2－5f（x）＝

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