meili 发表于 2022-10-14 16:09:52

高中数学离散型随机变量的均值综合测试题(含答案)

<p>选修2-3 2.3.1 离散型随机变量的均值</p><p>一、选择题</p><p>1.若X是一个随机变量,则E(X-E(X))的值为()</p><p>A.无法求 B.0</p><p>C.E(X) D.2E(X)</p><p>[答案]B</p><p>[解析]只要认识到E(X)是一个常数,则可直接运用均值的性质求解.</p><p>∵E(aX+b)=aE(X)+b,而E(X)为常数,</p><p>E(X-E(X))=E(X)-E(X)=0.</p><p>2.设E()=10,E()=3,则E(3+5)=()</p><p>A.45B.40 </p><p>C.30D.15</p><p>[答案]A</p><p>3.今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台数为X,则E(X)=()</p><p>A.0.765 B.1.75</p><p>C.1.765 D.0.22</p><p>[答案]B</p><p>[解析]设A、B分别为每台雷达发现飞行目标的事件,X的可能取值为0、1、2,</p><p>P(X=0)=P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.9)(1-0.85)=0.015.</p><p>P(X=1)=P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.90.15+0.10.85=0.22.</p><p>P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.90.85</p><p>=0.765.</p><p>E(X)=00.015+10.22+20.765=1.75.</p><p>4.设随机变量X的分布列如下表所示且E(X)=1.6,则a-b=()</p><p>X 0 1 2 3</p><p>P 0.1 a b 0.1</p><p>A.0.2 B.0.1</p><p>C.-0.2 D.-0.4</p><p>[答案]C</p><p>[解析]由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8,①</p><p>又由E(X)=00.1+1a+2b+30.1=1.6,</p><p>得a+2b=1.3,②</p><p>由①②解得a=0.3,b=0.5,a-b=-0.2,故应选C.</p><p>5.已知随机变量,其中=10+2,且E()=20,若的分布列如下表,则m的值为()</p><p>1 2 3 4</p><p>P 14</p><p>m n 112</p><p>A.2023 B.2023</p><p>C.2023 D.18</p><p>[答案]A</p><p>[解析]=10+2E()=10E()+220=10)+2)=2023=114+2m+3n+2023,又14+m+n+112=1,联立求解可得m=2023,故选A.</p><p>6.(2023浙江)有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件,若X表示取到次品的个数,则E(X)等于()</p><p>A.35 B.815</p><p>C.2023 D.1</p><p>[答案]A</p><p>[解析]X=1时,P=C17C13C210;X=2时,P=C23C210.</p><p>E(X)=1C17C13C210+2C23C210=73+23C210=35,</p><p>故选A.</p><p>7.(2023福建福州)已知某一随机变量X的概率分布列如下表,E(X)=6.3,则a值为()</p><p>X 4 a 9</p><p>P 0.5 0.1 b</p><p>A.5 B.6</p><p>C.7 D.8</p><p>[答案]C</p><p>[解析]由分布列性质知:0.5+0.1+b=1,b=0.4,E(X)=40.5+a0.1+90.4=6.3,a=7,故选C.</p><p>8.(2023新课标全国理,6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的均值为()</p><p>A.100 B.200</p><p>C.300 D.400</p><p>[答案]B</p><p>[解析]本题以实际问题为背景,考查的事件的均值问题.</p><p>记“不发芽的种子数为”,则~B(1 000,0.1),所以E()=1 2023.1=100,而X=2,故EX=E(2)=2E()=200,故选B.</p><p>二、填空题</p><p>9.(2023上海理,6)随机变量的概率分布列由下图给出:</p><p>x 7 8 9 10</p><p>P(=x) 0.3 0.35 0.2 0.15</p><p>则随机变量的均值是________.</p><p>[答案]8.2</p><p>[解析]本小题考查随机变量的均值公式.</p><p>E()=70.3+80.35+90.2+100.15=8.2.</p><p>10.已知某离散型随机变量X的数学期望E(X)=76,X的分布列如下:</p><p>X 0 1 2 3</p><p>P a 13</p><p>16</p><p>b</p><p>则a=________.</p><p>[答案]13</p><p>[解析]E(X)=76=0a+113+216+3bb=16,又P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1a+13+16+16=1a=13.</p><p>11.从1、2、3、4、5这5个数字中任取不同的两个,则这两个数之积的数学期望是________.</p><p>[答案]8.5</p><p>[解析]从1、2、3、4、5中任取不同的两个数,其乘积X的值为2、3、4、5、6、8、10、12、15、20,取每个值的概率都是110,E(X)=110(2+3+4+5+6+8+10+12+15+20)=8.5.</p><p>12.设p为非负实数,随机变量X的概率分布为:</p><p>X 0 1 2</p><p>P 12-p</p><p>p 12</p><p>则E(X)的最大值为________.</p><p>[答案]32</p><p>[解析]由表可得012-p1,01,从而得P,期望值E(X)=0(12-p)+1p+212=p+1,当且仅当p=12时,E(X)最大值=32.</p><p>三、解答题</p><p>13.盒中装有5节同牌号的五号电池,其中混有两节废电池,现在无放回地每次取一节电池检验,试回答下列问题:</p><p>(1)若直到取到好电池为止,求抽取次数的分布列及均值;</p><p>(2)若将题设中的无放回改为有放回,求检验5次取到好电池个数X的数学期望.</p><p>[解析](1)可取的值为1、2、3,</p><p>则P(=1)=35,P(=2)=2023=310,</p><p>P(=3)=20231=110,</p><p>抽取次数的分布列为:</p><p>1 2 3</p><p>P 35</p><p>310</p><p>110</p><p>E()=135+2023+2023=1.5.</p><p>(2)每次检验取到好电池的概率均为35,</p><p>故X~B(n,p),即X~B(5,35),</p><p>则E(X)=535=3.</p><p>14.(2023江西理,18)某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止.令表示走出迷宫所需的时间.</p><p>(1)求的分布列;(2)求的数学期望(均值).</p><p>[解析]本题考查学生的全面分析能力,考查学生对事件概率的求解能力以及对文字描述的理解能力.解本题的两个关键点是:一是的所有取值,二是概率.</p><p>解:(1)的所有可能取值为:1,3,4,6</p><p>P(=1)=13,P(=3)=16,P(=4)=16,P(=6)=13,所以的分布列为:</p><p>1 3 4 6</p><p>P 13</p><p>16</p><p>16</p><p>13</p><p>(2)E()=113+316+416+613=72(小时)</p><p>15.购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年度内有10 000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1-0.202304.</p><p>(1)求一投保人在一年度内出险的概率p;</p><p>(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元,为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).</p><p>[解析]解答第(1)题运用对立事件的概率公式,建立方程求解.</p><p>解答第(2)题运用二项分布的期望公式,建立不等式求解.</p><p>各投保人是否出险相互独立,且出险的概率都是p,记投保的10 000人中出险的人数为,则~B(104,p).</p><p>(1)记A表示事件:保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金,则A发生当且仅当=0,P(A)=1-P(A)=1-P(=0)=1-(1-p)104,</p><p>又P(A)=1-0.202304,</p><p>故p=0.001.</p><p>(2)该险种总收入为10 000a元,支出是赔偿金总额与成本的和.</p><p>支出:10 000+50 000,</p><p>盈利:=10 000a-(10 000+50 000),</p><p>盈利的期望为:</p><p>E()=10 000a-10 000E()-50 000,</p><p>由~B(104,10-3)知,E()=10 20230-3,</p><p>E()=104a-104E()-2023</p><p>=104a-20232023-3-2023.</p><p>E(2023a-20230-2023a-10-5a15(元).</p><p>故每位投保人应交纳的最低保费为15元.</p><p>16.(2023全国Ⅰ理19)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲、乙各胜1局.</p><p>(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;</p><p>(2)设X表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求X的分布列及均值.</p><p>[解析]设Ai表示事件:第i局甲获胜,i=3,4,5,</p><p>Bj表示事件:第j局乙获胜,j=3,4.</p><p>(1)记B表示事件:甲获得这次比赛的胜利</p><p>因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,从而B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5.</p><p>由于各局比赛结果相互独立,故</p><p>P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)</p><p>=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)=0.60.6+0.40.60.6+0.60.40.6=0.648.</p><p>(2)X的可能取值为2,3.</p><p>由于各局比赛结果相互独立,所以</p><p>P(X=2)=P(A3A4+B3B4)=P(A3A4)+P(B3B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0.60.6+0.40.4=0.52,</p><p>P(X=3)=1-P(X=2)=1-0.52=0.48.</p><p>故X的分布列为</p><p>X 2 3</p><p>P 0.52 0.48</p><p>E(X)=2P(X=2)+3P(X=3)=20.52+30.48=2.48.</p>
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