高中数学组合综合测试题（有答案）
<p>选修2-3 1.2.2.2 组合2</p><p>一、选择题</p><p>1．某年级有6个班，分别派3名语文教师任教，每个教师教2个班，则不同的任课方法种数为()</p><p>A．C26C24C22 B．A26A24A22</p><p>C．C26C24C22C33 D.A26C24C22A33</p><p>[答案]A</p><p>2．从单词“equation”中取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排法共有()</p><p>A．120种 B．480种</p><p>C．720种 D．840种</p><p>[答案]B</p><p>[解析]先选后排，从除qu外的6个字母中任选3个字母有C36种排法，再将qu看成一个整体(相当于一个元素)与选出的3个字母进行全排列有A44种排法，由分步乘法计数原理得不同排法共有C36A44＝480(种)．</p><p>3．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有()</p><p>A．24种 B．18种</p><p>C．12种 D．96种</p><p>[答案]B</p><p>[解析]先选后排C23A33＝18，故选B.</p><p>4．把0、1、2、3、4、5这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有()</p><p>A．40个 B．120个</p><p>C．360个 D．720个</p><p>[答案]A</p><p>[解析]先选取3个不同的数有C36种方法，然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A22种排法，故共有C36A22＝40个三位数．</p><p>5．(2023湖南理，7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息2023至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()</p><p>A．10 B．11</p><p>C．12 D．15</p><p>[答案]B</p><p>[解析]与信息2023至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：</p><p>第一类：与信息2023只有两个对应位置上的数字相同有C24＝6(个)</p><p>第二类：与信息2023只有一个对应位置上的数字相同有C14＝4(个)</p><p>第三类：与信息2023没有一个对应位置上的数字相同有C04＝1(个)</p><p>与信息2023至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11(个)</p><p>6．北京《财富》全球论坛开幕期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为()</p><p>A．C414C412C48 B．C2023C412C48</p><p>C.C2023C412C48A33 D．C2023C412C48A33</p><p>[答案]B</p><p>[解析]解法1：由题意知不同的排班种数为：C414C410C46＝202320234！202374！652！＝C2023C412C48.</p><p>故选B.</p><p>解法2：也可先选出12人再排班为：C2023C412C48C44，即选B.</p><p>7．(2023湖南理5)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()</p><p>A．85 B．56</p><p>C．49 D．28</p><p>[答案]C</p><p>[解析]考查有限制条件的组合问题．</p><p>(1)从甲、乙两人中选1人，有2种选法，从除甲、乙、丙外的7人中选2人，有C27种选法，由分步乘法计数原理知，共有2C27＝42种．</p><p>(2)甲、乙两人全选，再从除丙外的其余7人中选1人共7种选法．</p><p>由分类计数原理知共有不同选法42＋7＝49种．</p><p>8．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有()</p><p>A．6个 B．12个</p><p>C．18个 D．30个</p><p>[答案]B</p><p>[解析]C46－3＝12个，故选B.</p><p>9．(2023辽宁理，5)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有()</p><p>A．70种 B．80种</p><p>C．100种 D．140种</p><p>[答案]A</p><p>[解析]考查排列组合有关知识．</p><p>解：可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名，</p><p>共有C25C14＋C15C24＝70，选A.</p><p>10．设集合Ⅰ＝{1,2,3,4,5}．选择Ⅰ的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有()</p><p>A．50种 B．49种</p><p>C．48种 D．47种</p><p>[答案]B</p><p>[解析]主要考查集合、排列、组合的基础知识．考查分类讨论的思想方法．</p><p>因为集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素，A中元素从1、2、3、4中取，B中元素从2、3、4、5中取，由于A、B非空，故至少要有一个元素．</p><p>1当A＝{1}时，选B的方案共有24－1＝15种，</p><p>当A＝{2}时，选B的方案共有23－1＝7种，</p><p>当A＝{3}时，选B的方案共有22－1＝3种，</p><p>当A＝{4}时，选B的方案共有21－1＝1种．</p><p>故A是单元素集时，B有15＋7＋3＋1＝26种．</p><p>2A为二元素集时，</p><p>A中最大元素是2，有1种，选B的方案有23－1＝7种．</p><p>A中最大元素是3，有C12种，选B的方案有22－1＝3种．故共有23＝6种．</p><p>A中最大元素是4，有C13种．选B的方案有21－1＝1种，故共有31＝3种．</p><p>故A中有两个元素时共有7＋6＋3＝16种．</p><p>3A为三元素集时，</p><p>A中最大元素是3，有1种，选B的方案有22－1＝3种．</p><p>A中最大元素是4，有C23＝3种，选B的方案有1种，</p><p>共有31＝3种．</p><p>A为三元素时共有3＋3＝6种．</p><p>4A为四元素时，只能是A＝{1、2、3、4}，故B只能是{5}，只有一种．</p><p>共有26＋16＋6＋1＝49种．</p><p>二、填空题</p><p>11．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有______种不同送法．</p><p>[答案]10</p><p>[解析]每校先各得一台，再将剩余6台分成3份，用插板法解，共有C25＝10种．</p><p>12．一排7个座位分给3人坐，要求任何两人都不得相邻，所有不同排法的总数有________种．</p><p>[答案]60</p><p>[解析]对于任一种坐法，可视4个空位为0,3个人为1,2,3则所有不同坐法的种数可看作4个0和1,2,3的一种编码，要求1,2,3不得相邻故从4个0形成的5个空档中选3个插入1,2,3即可．</p><p>不同排法有A35＝60种．</p><p>13．(09海南宁夏理15)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．</p><p>[答案]140</p><p>[解析]本题主要考查排列组合知识．</p><p>由题意知，若每天安排3人，则不同的安排方案有</p><p>C37C34＝140种．</p><p>14．2023年上海世博会期间，将5名志愿者分配到3个不同国家的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数是________种．</p><p>[答案]150</p><p>[解析]先分组共有C35＋C25C232种，然后进行排列，有A33种，所以共有(C35＋C25C232)A33＝150种方案．</p><p>三、解答题</p><p>15．解方程Cx2＋3x＋216＝C5x＋516.</p><p>[解析]因为Cx2＋3x＋216＝C5x＋516，所以x2＋3x＋2＝5x＋5或(x2＋3x＋2)＋(5x＋5)＝16，即x2－2x－3＝0或x2＋8x－9＝0，所以x＝－1或x＝3或x＝－9或x＝1.经检验x＝3和x＝－9不符合题意，舍去，故原方程的解为x1＝－1，x2＝1.</p><p>16．在MON的边OM上有5个异于O点的点，边ON上有4个异于O点的点，以这10个点(含O点)为顶点，可以得到多少个三角形？</p><p>[解析]解法1：(直接法)分几种情况考虑：O为顶点的三角形中，必须另外两个顶点分别在OM、ON上，所以有C15C14个，O不为顶点的三角形中，两个顶点在OM上，一个顶点在ON上有C25C14个，一个顶点在OM上，两个顶点在ON上有C15C24个．因为这是分类问题，所以用分类加法计数原理，共有C15C14＋C25C14＋C15C24＝54＋104＋56＝90(个)．</p><p>解法2：(间接法)先不考虑共线点的问题，从10个不同元素中任取三点的组合数是C310，但其中OM上的6个点(含O点)中任取三点不能得到三角形，ON上的5个点(含O点)中任取3点也不能得到三角形，所以共可以得到C310－C36－C35个，即C310－C36－C35＝2023123－202323－2023＝120－20－10＝90(个)．</p><p>解法3：也可以这样考虑，把O点看成是OM边上的点，先从OM上的6个点(含O点)中取2点，ON上的4点(不含O点)中取一点，可得C26C14个三角形，再从OM上的5点(不含O点)中取一点，从ON上的4点(不含O点)中取两点，可得C15C24个三角形，所以共有C26C14＋C15C24＝154＋56＝90(个)．</p><p>17．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．</p><p>(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净剩球数取前两名；</p><p>(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；</p><p>(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．</p><p>问全程赛程共需比赛多少场？</p><p>[解析](1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C26＝30(场)．</p><p>(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛2A22＝4(场)．</p><p>(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．</p><p>所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．</p><p>18．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？</p><p>(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；</p><p>(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；</p><p>(3)甲、乙、丙各得3本．</p><p>[分析]由题目可获取以下主要信息：</p><p>①9本不同的课外书分给甲、乙丙三名同学；</p><p>②题目中的3个问题的条件不同．</p><p>解答本题先判断是否与顺序有关，然后利用相关的知识去解答．</p><p>[解析](1)分三步完成：</p><p>第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C49种方法；</p><p>第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C35种方法；</p><p>第三步：把剩下的书给丙有C22种方法，</p><p>共有不同的分法有C49C35C22＝2023(种)．</p><p>(2)分两步完成：</p><p>第一步：将4本、3本、2本分成三组有C49C35C22种方法；</p><p>第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种方法，</p><p>共有C49C35C22A33＝2023(种)．</p><p>(3)用与(1)相同的方法求解，</p><p>得C39C36C33＝2023(种)．</p>
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