高中数学向量的应用检测试题（有答案）
<p>1．有以下命题：①如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 的关系是不共线；② 为空间四点，且向量 不构成空间的一个基底，那么点 一定共面；③已知向量 是空间的一个基底，则向量 ，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）</p><p>①② ①③ ②③ ①②③</p><p>2．下列命题正确的是（ ）</p><p>若 与 共线， 与 共线，则 与 共线；</p><p>向量 共面就是它们所在的直线共面；</p><p>零向量没有确定的方向；</p><p>若 ，则存在唯一的实数 使得 ；</p><p>3．如图：在平行六面体 中， 为 与 的交点。若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是（ ）</p><p>4．已知： 且 不共面.若 ∥ ,求 的值.</p><p>5．（1）已知两个非零向量 =（a1，a2，a3）， =（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（）</p><p>A. ：| |= ：| |B.a1b1=a2b2=a3b3</p><p>C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零实数k，使 =k</p><p>（2）已知向量 =（2，4，x）， =（2，y，2），若| |=6，，则x+y的值是（）</p><p>A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1</p><p>（3）下列各组向量共面的是（）</p><p>A. =(1，2，3)， =(3，0，2)， =(4，2，5)</p><p>B. =(1，0，0)， =(0，1，0)， =(0，0，1)</p><p>C. =(1，1，0)， =(1，0，1)， =(0，1，1)</p><p>D. =(1，1，1)， =(1，1，0)， =(1，0，1)</p><p>例6．已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设 = ， = ，（1）求 和 的夹角 ；（2）若向量k + 与k －2 互相垂直，求k的值.</p><p>7．（1）设向量 与 的夹角为 ， ， ，</p><p>则 ．</p><p>8．（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证： + + 4 。</p><p>（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。</p><p>9．如图,直三棱柱 中, 求证:</p><p>10.过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若 ， ， ，则 的值为（ ）</p><p>（A）4 （B）3 （C）2 （D）1</p><p>13.已知a＝（ ， ），b＝（ ， ），a与b之间有关系式|ka+b|= |a-kb|，其中k＞0．</p><p>（1）用k表示a、b；</p><p>（2）求ab的最小值，并求此时，a与b的夹角 的大小．</p><p>由已知 ．</p><p>14.. 已知 , , , 。</p><p>（1）求 ；</p><p>（2）设BAC＝，且已知cos(+x)＝ ， ，求sinx</p><p>1．有以下命题：①如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 的关系是不共线；② 为空间四点，且向量 不构成空间的一个基底，那么点 一定共面；③已知向量 是空间的一个基底，则向量 ，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）</p><p>①② ①③ ②③ ①②③</p><p>解析：对于①“如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。</p><p>点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系</p><p>2．下列命题正确的是（ ）</p><p>若 与 共线， 与 共线，则 与 共线；</p><p>向量 共面就是它们所在的直线共面；</p><p>零向量没有确定的方向；</p><p>若 ，则存在唯一的实数 使得 ；</p><p>解析：A中向量 为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D中需保证 不为零向量</p><p>答案C。</p><p>点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾</p><p>题型2：空间向量的基本运算</p><p>3．如图：在平行六面体 中， 为 与 的交点。若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是（ ）</p><p>解析：显然 ；</p><p>答案为A。</p><p>点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力</p><p>4．已知： 且 不共面.若 ∥ ,求 的值.</p><p>解： ∥ ,,且 即</p><p>又 不共面,</p><p>点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。</p><p>题型3：空间向量的坐标</p><p>5．（1）已知两个非零向量 =（a1，a2，a3）， =（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（）</p><p>A. ：| |= ：| |B.a1b1=a2b2=a3b3</p><p>C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零实数k，使 =k</p><p>（2）已知向量 =（2，4，x）， =（2，y，2），若| |=6，，则x+y的值是（）</p><p>A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1</p><p>（3）下列各组向量共面的是（）</p><p>A. =(1，2，3)， =(3，0，2)， =(4，2，5)</p><p>B. =(1，0，0)， =(0，1，0)， =(0，0，1)</p><p>C. =(1，1，0)， =(1，0，1)， =(0，1，1)</p><p>D. =(1，1，1)， =(1，1，0)， =(1，0，1)</p><p>解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知；</p><p>（2）A点拨：由题知 或 ；</p><p>（3）A点拨：由共面向量基本定理可得</p><p>点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况</p><p>6．已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设 = ， = ，（1）求 和 的夹角 ；（2）若向量k + 与k －2 互相垂直，求k的值.</p><p>思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.</p><p>解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)， = ， = ，</p><p>=(1，1，0)， =（－1，0，2）.</p><p>(1)cos = = － ，</p><p>和 的夹角为－ 。</p><p>(2)∵k + =k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），</p><p>k －2 =（k+2，k，－4），且(k + )（k －2 ），</p><p>（k－1，k，2）（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。</p><p>则k=－ 或k=2。</p><p>点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（ + ）(k －2 )=k2 2－k－2 2=2k2+k－10=0，解得k=－ ，或k=2。</p><p>题型4：数量积</p><p>7．（1）设向量 与 的夹角为 ， ， ，</p><p>则 ．</p><p>.解：设向量 与 的夹角为 且，则 = .</p><p>（2）设空间两个不同的单位向量 =(x1，y1，0)， =(x2，y2，0)与向量 =(1，1，1)的夹角都等于 。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求 ， 的大小(其中0＜ ，。</p><p>解析</p><p>（2）解：(1)∵| |=| |=1，x +y =1，x =y =1.</p><p>又∵ 与 的夹角为 ，=| || |cos = = .</p><p>又∵=x1+y1，x1+y1= 。</p><p>另外x +y =(x1+y1)2-2x1y1=1，2x1y1=( )2－1= .x1y1= 。</p><p>(2)cos ， = =x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1= ，x1y1= .x1，y1是方程x2－ x+ =0的解.</p><p>或 同理可得 或</p><p>∵， 或</p><p>cos ，+= + = .</p><p>∵0 ， ， ， = 。</p><p>评述：本题考查向量数量积的运算法则</p><p>题型5：空间向量的应用</p><p>8．（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证： + + 4 。</p><p>（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。</p><p>解析：（1）设 =( ， ， )， =(1，1，1)，</p><p>则| |=4，| |= .</p><p>∵ | || |，</p><p>= + + | || |=4 .</p><p>当 = = 时，即a=b=c= 时，取“=”号。</p><p>（2）解：W=Fs=(F1+F2+F3) =14。</p><p>点评：若 =(x，y，z)， =(a，b，c)，则由 | || |，得(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查| || | 的应用，解题时要先根据题设条件构造向量 ， ，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题</p><p>9．如图,直三棱柱 中, 求证:</p><p>证明：</p><p>同理</p><p>又</p><p>设 为 中点,则</p><p>又</p><p>点评：从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空间多边形法则，向量的运算，数量积以及平行,相等和垂直的条件</p><p>10.过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若 ， ， ，则 的值为（ ）</p><p>（A）4 （B）3 （C）2 （D）1</p><p>解析：取△ABC为正三角形易得 ＝3．选B．</p><p>评析：本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力．</p><p>11.如图，设P、Q为△ABC内的两点，且 ，</p><p>＝ ＋ ，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为</p><p>A． B． C． D．</p><p>如下图，设 ， ，则 ．</p><p>由平行四边形法则，知NP∥AB，所以 ＝ ，</p><p>同理可得 ．故 ，选B．</p><p>3. 是平面内不共线两向量，已知 ，若 三点共线，则 的值是</p><p>A．2 B． C． D．</p><p>A ，又A、B、D三点共线，则 .即 ， ，故选 .</p><p>【总结点评】本题主要考查共线向量的定义和平面向量基本定理的运用. 要求我们熟记公式，掌握常见变形技巧与方法.</p><p>12、已知平面向量 =( ，1)， = ( )．</p><p>（1）求 ；</p><p>（2）设 ， （其中 ），若 ，试求函数关系式 并解不等式 ．（1） ；</p><p>（2）由 得， ，</p><p>所以 ；</p><p>变形得： ，解得 ．</p><p>13.已知a＝（ ， ），b＝（ ， ），a与b之间有关系式|ka+b|= |a-kb|，其中k＞0．</p><p>（1）用k表示a、b；</p><p>（2）求ab的最小值，并求此时，a与b的夹角 的大小．</p><p>由已知 ．</p><p>∵ ， ． ．</p><p>∵k＞0， ．</p><p>此时． ＝60．</p><p>14.. 已知 , , , 。</p><p>（1）求 ；</p><p>（2）设BAC＝，且已知cos(+x)＝ ， ，求sinx</p><p>解：（1）由已知</p><p>∵ CDAB，在Rt△BCD中BC2=BD2+CD2,</p><p>又CD2=AC2－AD2, 所以BC2=BD2+AC2－AD2=49， ……4分</p><p>所以 ……6分</p><p>（2）在△ABC中，……8分</p><p>而 如果 ，</p><p>则……10分</p>
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