高中数学复数的几何意义测试题(含答案)
<p>选修2-23.1.2复数的几何意义</p><p>一、选择题</p><p>1．如果复数a＋bi(a，bR)在复平面内的对应点在第二象限，则()</p><p>A．a0，b0</p><p>B．a0，b0</p><p>C．a0，b0</p><p>D．a0，b0</p><p>[答案]D</p><p>[解析]复数z＝a＋bi在复平面内的对应点坐标为(a，b)，该点在第二象限，需a0且b0，故应选D.</p><p>2．(2023北京文，2)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()</p><p>A．4＋8i</p><p>B．8＋2i</p><p>C．2＋4i</p><p>D．4＋i</p><p>[答案]C</p><p>[解析]由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－22＝2，y＝5＋32＝4，</p><p>点C对应的复数为2＋4i，故选C.</p><p>3．当231时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于()</p><p>A．第一象限</p><p>B．第二象限</p><p>C．第三象限</p><p>D．第四象限</p><p>[答案]D</p><p>[解析]∵23＜m＜1，3m－20，m－1＜0，</p><p>点(3m－2，m－1)在第四象限．</p><p>4．复数z＝－2(sin100－icos100)在复平面内所对应的点Z位于()</p><p>A．第一象限</p><p>B．第二象限</p><p>C．第三象限</p><p>D．第四象限</p><p>[答案]C</p><p>[解析]z＝－2sin100＋2icos100.</p><p>∵－2sin2023,2cos2023，</p><p>Z点在第三象限．故应选C.</p><p>5．若a、bR，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在()</p><p>A．第一象限</p><p>B．第二象限</p><p>C．第三象限</p><p>D．第四象限</p><p>[答案]D</p><p>[解析]a2－6a＋10＝(a－3)2＋10，－b2＋4b－5</p><p>＝－(b－2)2－10.所以对应点在第四象限，故应选D.</p><p>6．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，tR，则以下结论中正确的是()</p><p>A．z对应的点在第一象限</p><p>B．z一定不是纯虚数</p><p>C．z对应的点在实轴上方</p><p>D．z一定是实数</p><p>[答案]C</p><p>[解析]∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋11，排除A、B、D，选C.</p><p>7．下列命题中假命题是()</p><p>A．复数的模是非负实数</p><p>B．复数等于零的充要条件是它的模等于零</p><p>C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件</p><p>D．复数z1z2的充要条件是|z1|＞|z2|</p><p>[答案]D</p><p>[解析]①任意复数z＝a＋bi(a、bR)的模|z|＝a2＋b20总成立．A正确；</p><p>②由复数相等的条件z＝0a＝0b＝0.|z|＝0，故B正确；</p><p>③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2R)</p><p>若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，|z1|＝|z2|</p><p>反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，</p><p>如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；</p><p>④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，D错．</p><p>8．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，则实数x的取值范围是()</p><p>A．－452</p><p>B．x2</p><p>C．x－45</p><p>D．x＝－45或x＝2</p><p>[答案]A</p><p>[解析]由题意知(x－1)2＋(2x－1)210，</p><p>解之得－452.故应选A.</p><p>9．已知复数z1＝a＋bi(a，bR)，z2＝－1＋ai，若|z1||z2|，则实数b适合的条件是()</p><p>A．b－1或b1</p><p>B．－11</p><p>C．b1</p><p>D．b0</p><p>[答案]B</p><p>[解析]由|z1||z2|得a2＋b2a2＋1，</p><p>b21，则－11.</p><p>10．复平面内向量OA表示的复数为1＋i，将OA向右平移一个单位后得到向量OA，则向量OA与点A对应的复数分别为()</p><p>A．1＋i,1＋i</p><p>B．2＋i,2＋i</p><p>C．1＋i,2＋i</p><p>D．2＋i,1＋i</p><p>[答案]C</p><p>[解析]由题意OA＝OA，对应复数为1＋i，点A对应复数为1＋(1＋i)＝2＋i.</p><p>二、填空题</p><p>11．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(mR)对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为________________．</p><p>[答案]－，－1－2023，＋</p><p>[解析]复数z对应的点在第一象限</p><p>需m2＋m－104m2－8m＋30解得：m－1－52或m32.</p><p>12．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝________.</p><p>[答案]15－8i</p><p>[解析]设复数z＝a－8i，由a2＋82＝17，</p><p>a2＝225，a＝15，z＝15－8i.</p><p>13．已知z＝(1＋i)m2－(8＋i)m＋15－6i(mR)，若复数z对应点位于复平面上的第二象限，则m的取值范围是________．</p><p>[答案]35</p><p>[解析]将复数z变形为z＝(m2－8m＋15)＋(m2－m－6)i</p><p>∵复数z对应点位于复平面上的第二象限</p><p>m2－8m＋150m2－m－60解得35.</p><p>14．若tR，t－1，t0，复数z＝t1＋t＋1＋tti的模的取值范围是________．</p><p>[答案]|z|2＝t1＋t2＋1＋tt22t1＋t1＋tt＝2.</p><p>|z|2.</p><p>三、解答题</p><p>15．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝2m＋(4－m2)i的点</p><p>(1)位于虚轴上；</p><p>(2)位于一、三象限；</p><p>(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．</p><p>[解析](1)若复平面内对应点位于虚轴上，则2m＝0，即m＝0.</p><p>(2)若复平面内对应点位于一、三象限，则2m(4－m2)0，解得m－2或02.</p><p>(3)若对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，</p><p>则4m2＋(4－m2)2＝4</p><p>即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝2.</p><p>16．已知z1＝x2＋x2＋1i，z2＝(x2＋a)i，对于任意的xR，均有|z1||z2|成立，试求实数a的取值范围．</p><p>[解析]|z1|＝x4＋x2＋1，|z2|＝|x2＋a|</p><p>因为|z1||z2|，所以x4＋x2＋1|x2＋a|</p><p>x4＋x2＋1(x2＋a)2(1－2a)x2＋(1－a2)0恒成立．</p><p>不等式等价于1－2a＝0或1－2a＝－4(1－2a)(1－a2)0</p><p>解得－112</p><p>所以a的取值范围为－1，12.</p><p>17．已知z1＝cos＋isin2，z2＝3sin＋icos，当为何值时</p><p>(1)z1＝z2；</p><p>(2)z1，z2对应点关于x轴对称；</p><p>(3)|z2|2.</p><p>[解析](1)z1＝z2cos＝3sinsin2＝cos</p><p>tan＝332sincos＝cos＝2k6(kZ)．</p><p>(2)z1与z2对应点关于x轴对称</p><p>cos＝3sinsin2＝－cos＝k6(kZ)2sincos＝－cos</p><p>＝2k＋76Z)．</p><p>(3)|z2|(3sin)2＋cos22</p><p>3sin2＋cos22sin212</p><p>－k4(kZ)．</p><p>18．已知复数z1＝3－i及z2＝－12＋32i.</p><p>(1)求|z1|及|z2|的值并比较大小；</p><p>(2)设zC，满足条件|z2||z1|的点Z的轨迹是什么图形？</p><p>[解析](1)|z1|＝|3＋i|＝(3)2＋12＝2</p><p>|z2|＝－12－32i＝1.|z1|＞|z2|.</p><p>(2)由|z2||z1|，得12.</p><p>因为|z|1表示圆|z|＝1外部所有点组成的集合．</p><p>|z|2表示圆|z|＝2内部所有点组成的集合，</p><p>12表示如图所示的圆环．</p>
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