高中数学定积分的简单应用综合测试题（有答案）
<p>选修2-2 1.7 定积分的简单应用</p><p>一、选择题</p><p>1．如图所示，阴影部分的面积为()</p><p>A.abf(x)dx B.abg(x)dx</p><p>C.abdx D.abdx</p><p>[答案]C</p><p>[解析]由题图易知，当x时，f(x)g(x)，所以阴影部分的面积为abdx.</p><p>2．如图所示，阴影部分的面积是()</p><p>A．23 B．2－3</p><p>C.323 D.353</p><p>[答案]C</p><p>[解析]S＝1－3(3－x2－2x)dx</p><p>即F(x)＝3x－13x3－x2，</p><p>则F(1)＝3－1－13＝53，</p><p>F(－3)＝－9－9＋9＝－9.</p><p>S＝F(1)－F(－3)＝53＋9＝323.故应选C.</p><p>3．由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()</p><p>A.02(x2－1)dx</p><p>B．|02(x2－1)dx|</p><p>C.02|x2－1|dx</p><p>D.01(x2－1)dx＋12(x2－1)dx</p><p>[答案]C</p><p>[解析]y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.</p><p>4．设f(x)在上连续，则曲线f(x)与直线x＝a，x＝b，y＝0围成图形的面积为()</p><p>A.abf(x)dx B．|abf(x)dx|</p><p>C.ab|f(x)|dx D．以上都不对</p><p>[答案]C</p><p>[解析]当f(x)在上满足f(x)0时，abf(x)dx0，排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，abf(x)dx是两面积之差，排除B；无论什么情况C对，故应选C.</p><p>5．曲线y＝1－2023x2与x轴所围图形的面积是()</p><p>A．4 B．3</p><p>C．2 D.52</p><p>[答案]B</p><p>[解析]曲线与x轴的交点为－94，0，94，0</p><p>故应选B.</p><p>6．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t</p><p>＝0s到t＝3s时间段内的位移是</p><p>()</p><p>A．31m B．36m</p><p>C．38m D．40m</p><p>[答案]B</p><p>[解析]S＝03(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)30＝33＋32＝36(m)，故应选B.</p><p>7．(2023山东理，7)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()</p><p>A.112B.14 </p><p>C.13D.712</p><p>[答案]A</p><p>[解析]由y＝x2y＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．</p><p>S＝01(x2－x3)dx＝13x3－14x410＝112.</p><p>8．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()</p><p>A．8JB．10J</p><p>C．12J D．14J</p><p>[答案]D</p><p>[解析]由变力做功公式有：W＝13(4x－1)dx＝(2x2－x)31＝14(J)，故应选D.</p><p>9．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为()</p><p>A.12 B．3－322</p><p>C．6＋32 D．6－32</p><p>[答案]D</p><p>[解析]2023tdt＝66t63＝6－32，故应选D.</p><p>10．过原点的直线l与抛物线y＝x2－2ax(a0)所围成的图形面积为92a3，则直线l的方程为()</p><p>A．y＝ax B．y＝ax</p><p>C．y＝－ax D．y＝－5ax</p><p>[答案]B</p><p>[解析]设直线l的方程为y＝kx，</p><p>由y＝kxy＝x2－2ax得交点坐标为(0,0)，(2a＋k,2ak＋k2)</p><p>图形面积S＝2a＋k0dx</p><p>＝k＋2a2x2－x332a＋k0</p><p>＝(k＋2a)32－(2a＋k)33＝(2a＋k)36＝92a3</p><p>k＝a，l的方程为y＝ax，故应选B.</p><p>二、填空题</p><p>11．由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是________．</p><p>[答案]18</p><p>[解析]如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组y2＝2xy＝x－4得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．</p><p>因此所求图形的面积S＝4－2(y＋4－y22)dy</p><p>取F(y)＝12y2＋4y－y36，则F(y)＝y＋4－y22，从而S＝F(4)－F(－2)＝18.</p><p>12．一物体沿直线以v＝1＋tm/s的速度运动，该物体运动开始后10s内所经过的路程是________．</p><p>13．由两条曲线y＝x2，y＝14x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________．</p><p>[答案]43</p><p>[解析]如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝x24交点B(2,1)，由对称性可知面积S＝2(01x2dx＋12dx－2023x2dx)＝43.</p><p>14．一变速运动物体的运动速度v(t)＝2t(01)at (12)bt (2e)</p><p>则该物体在0e时间段内运动的路程为(速度单位：m/s，时间单位：s)______________________．</p><p>[答案]9－8ln2＋2ln2</p><p>[解析]∵01时，v(t)＝2t，v(1)＝2；</p><p>又12时，v(t)＝at，</p><p>v(1)＝a＝2，v(2)＝a2＝22＝4；</p><p>又2e时，v(t)＝bt，</p><p>v(2)＝b2＝4，b＝8.</p><p>路程为S＝012tdt＋122tdt＋2e8tdt＝9－8ln2＋2ln2 .</p><p>三、解答题</p><p>15．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．</p><p>[解析]由y＝x＋3y＝x2－2x＋3解得x＝0及x＝3.</p><p>从而所求图形的面积</p><p>S＝03(x＋3)dx－03(x2－2x＋3)dx</p><p>＝03[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx</p><p>＝03(－x2＋3x)dx</p><p>＝－13x3＋32x230＝92.</p><p>16．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f(x)＝2x＋2.</p><p>(1)求y＝f(x)的表达式；</p><p>(2)若直线x＝－t(0＜t＜1)把y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．</p><p>[解析](1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)，则f(x)＝2ax＋b，</p><p>又已知f(x)＝2x＋2，a＝1，b＝2，</p><p>f(x)＝x2＋2x＋c.</p><p>又方程f(x)＝0有两个相等实根．</p><p>判别式＝4－4c＝0，即c＝1.</p><p>故f(x)＝x2＋2x＋1.</p><p>(2)依题意有－1－t(x2＋2x＋1)dx＝0－t(x2＋2x＋1)dx，</p><p>13x3＋x2＋x－t－1＝13x3＋x2＋x0－t</p><p>即－13t3＋t2－t＋13＝13t3－t2＋t.</p><p>2t3－6t2＋6t－1＝0，</p><p>2(t－1)3＝－1，t＝1－132 .</p><p>17．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点的速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：</p><p>(1)A、C间的距离；</p><p>(2)B、D间的距离；</p><p>(3)电车从A站到B站所需的时间．</p><p>[解析](1)设A到C经过t1s，</p><p>由1.2t＝24得t1＝20(s)，</p><p>所以AC＝2023.2tdt＝0.6t2023＝240(m)．</p><p>(2)设从DB经过t2s，</p><p>由24－1.2t2＝0得t2＝20(s)，</p><p>所以DB＝200(24－1.2t)dt＝240(m)．</p><p>(3)CD＝2023－2023＝2023(m)．</p><p>从C到D的时间为t3＝202324＝280(s)．</p><p>于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．</p><p>18．在曲线y＝x2(x0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为112，试求：</p><p>(1)切点A的坐标；</p><p>(2)过切点A的切线方程．</p><p>[解析]如图所示，设切点A(x0，y0)，由y＝2x，过A点的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，</p><p>即y＝2x0x－x20.</p><p>令y＝0得x＝x02，即Cx02，0.</p><p>设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，</p><p>S＝S曲边△AOB－S△ABC.</p><p>S曲边△AOB＝x00x2dx＝13x30，</p><p>S△ABC＝12|BC||AB|</p><p>＝12x0－x02x20＝14x30，</p><p>即S＝13x30－14x30＝112x30＝112.</p><p>所以x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.</p>
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