高中数学函数的极值与导数综合测试题（有答案）
<p>选修2-2 1.3.2 函数的极值与导数</p><p>一、选择题</p><p>1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是()</p><p>A．导数为零的点一定是极值点</p><p>B．如果在点x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值</p><p>C．如果在点x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值</p><p>D．如果在点x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值</p><p>[答案]C</p><p>[解析]导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f(x)＝3x2，f(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.</p><p>2．函数y＝1＋3x－x3有()</p><p>A．极小值－2，极大值2</p><p>B．极小值－2，极大值3</p><p>C．极小值－1，极大值1</p><p>D．极小值－1，极大值3</p><p>[答案]D</p><p>[解析]y＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)</p><p>令y＝0，解得x1＝－1，x2＝1</p><p>当x－1时，y0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，</p><p>当－11时，y0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，</p><p>当x1时，y0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，</p><p>当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.</p><p>当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.</p><p>3．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是()</p><p>A．必有f(x0)＝0</p><p>B．f(x0)不存在</p><p>C．f(x0)＝0或f(x0)不存在</p><p>D．f(x0)存在但可能不为0</p><p>[答案]C</p><p>[解析]如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f(0)不存在．</p><p>4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的()</p><p>A．充分不必要条件</p><p>B．必要不充分条件</p><p>C．充要条件</p><p>D．既不充分也不必要条件</p><p>[答案]C</p><p>[解析]只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．</p><p>5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：</p><p>①f(x)是增函数，无极值；</p><p>②f(x)是减函数，无极值；</p><p>③f(x)的递增区间为(－，0)，(2，＋)，递减区间为(0,2)；</p><p>④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．</p><p>其中正确的命题有()</p><p>A．1个 B．2个</p><p>C．3个 D．4个</p><p>[答案]B</p><p>[解析]f(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f(x)0，得x2或x0，令f(x)0，得02，①②错误．</p><p>6．函数f(x)＝x＋1x的极值情况是()</p><p>A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值</p><p>B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值</p><p>C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2</p><p>D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2</p><p>[答案]D</p><p>[解析]f(x)＝1－1x2，令f(x)＝0，得x＝1，</p><p>函数f(x)在区间(－，－1)和(1，＋)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，</p><p>当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.</p><p>7．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()</p><p>A．1个 B．2个</p><p>C．3个 D．4个</p><p>[答案]A</p><p>[解析]由f(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．</p><p>8．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是()</p><p>A．有极小值</p><p>B．有极大值</p><p>C．既有极大值又有极小值</p><p>D．无极值</p><p>[答案]D</p><p>[解析]∵y＝1－11＋x2(x2＋1)</p><p>＝1－2xx2＋1＝(x－1)2x2＋1</p><p>令y＝0得x＝1，当x1时，y0，</p><p>当x1时，y0，</p><p>函数无极值，故应选D.</p><p>9．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是()</p><p>A．极大值为427，极小值为0</p><p>B．极大值为0，极小值为427</p><p>C．极大值为0，极小值为－427</p><p>D．极大值为－427，极小值为0</p><p>[答案]A</p><p>[解析]由题意得，f(1)＝0，p＋q＝1①</p><p>f(1)＝0，2p＋q＝3②</p><p>由①②得p＝2，q＝－1.</p><p>f(x)＝x3－2x2＋x，f(x)＝3x2－4x＋1</p><p>＝(3x－1)(x－1)，</p><p>令f(x)＝0，得x＝13或x＝1，极大值f13＝427，极小值f(1)＝0.</p><p>10．下列函数中，x＝0是极值点的是()</p><p>A．y＝－x3 B．y＝cos2x</p><p>C．y＝tanx－x D．y＝1x</p><p>[答案]B</p><p>[解析]y＝cos2x＝1＋cos2x2，y＝－sin2x，</p><p>x＝0是y＝0的根且在x＝0附近，y左正右负，</p><p>x＝0是函数的极大值点．</p><p>二、填空题</p><p>11．函数y＝2xx2＋1的极大值为______，极小值为______．</p><p>[答案]1 －1</p><p>[解析]y＝2(1＋x)(1－x)(x2＋1)2，</p><p>令y0得－11，令y0得x1或x－1，</p><p>当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.</p><p>12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．</p><p>[答案]a＋42a－42</p><p>[解析]y＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)，</p><p>令y0，得x2或x－2，</p><p>令y0，得－22，</p><p>当x＝－2时取极大值a＋42，</p><p>当x＝2时取极小值a－42.</p><p>13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________.</p><p>[答案]－3 －9</p><p>[解析]y＝3x2＋2ax＋b，方程y＝0有根－1及3，由韦达定理应有</p><p>14．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．</p><p>[答案](－2,2)</p><p>[解析]令f(x)＝3x2－3＝0得x＝1，</p><p>可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，</p><p>y＝f(x)的大致图象如图</p><p>观察图象得－22时恰有三个不同的公共点．</p><p>三、解答题</p><p>15．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.</p><p>(1)写出函数f(x)的递减区间；</p><p>(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值．</p><p>[解析]f(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，</p><p>令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.</p><p>x变化时，f(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：</p><p>x (－，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋)</p><p>f(x) ＋ 0 － 0 ＋</p><p>f(x) 增 极大值</p><p>f(－1) 减 极小值</p><p>f(3) 增</p><p>(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)；</p><p>(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.</p><p>16．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值．</p><p>[解析]f(x)＝3ax2＋2bx＋c.</p><p>∵x＝1是函数的极值点，－1、1是方程f(x)＝0的根，即有</p><p>又f(1)＝－1，则有a＋b＋c＝－1，</p><p>此时函数的表达式为f(x)＝12x3－32x.</p><p>f(x)＝32x2－32.</p><p>令f(x)＝0，得x＝1.</p><p>当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：</p><p>x (－，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋)</p><p>f(x) ＋ 0 － 0 ＋</p><p>f(x) ? 极大</p><p>值1 ? 极小</p><p>值－1 ?</p><p>由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；当x＝1时，函数有极小值－1.</p><p>17．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝1处取得极值．</p><p>(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；</p><p>(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．</p><p>[解析](1)f(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，</p><p>f(1)＝f(－1)＝0，即</p><p>解得a＝1，b＝0.</p><p>f(x)＝x3－3x，</p><p>f(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．</p><p>令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.</p><p>若x(－，－1)(1，＋)，则f(x)＞0，故</p><p>f(x)在(－，－1)上是增函数，</p><p>f(x)在(1，＋)上是增函数．</p><p>若x(－1,1)，则f(x)＜0，故</p><p>f(x)在(－1,1)上是减函数．</p><p>f(－1)＝2是极大值；f(1)＝－2是极小值．</p><p>(2)曲线方程为y＝x3－3x.点A(0,16)不在曲线上．</p><p>设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x30－3x0.</p><p>∵f(x0)＝3(x20－1)，故切线的方程为</p><p>y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．</p><p>注意到点A(0,16)在切线上，有</p><p>16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)．</p><p>化简得x30＝－8，解得x0＝－2.</p><p>切点为M(－2，－2)，</p><p>切线方程为9x－y＋16＝0.</p><p>18．(2023北京文，18)设函数f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a0)，且方程f(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.</p><p>(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；</p><p>(2)若f(x)在(－，＋)内无极值点，求a的取值范围．</p><p>[解析]本题考查了函数与导函数的综合应用．</p><p>由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d得f(x)＝ax2＋2bx＋c</p><p>∵f(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.</p><p>(1)当a＝3时，由(*)式得 ，</p><p>解得b＝－3，c＝12.</p><p>又∵曲线y＝f(x)过原点，d＝0.</p><p>故f(x)＝x3－3x2＋12x.</p><p>(2)由于a0，所以“f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d在(－，＋)内无极值点”等价于“f (x)＝ax2＋2bx＋c0在(－，＋)内恒成立”</p><p>由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.</p><p>又∵＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)</p><p>解 得a，</p><p>即a的取值范围．</p>
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