高中数学函数的最值与导数综合测试题（附答案）
<p>选修2-2 1.3.3 函数的最值与导数</p><p>一、选择题</p><p>1．函数y＝f(x)在区间上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f(x)()</p><p>A．等于0 B．大于0</p><p>C．小于0 D．以上都有可能</p><p>[答案]A</p><p>[解析]∵M＝m，y＝f(x)是常数函数</p><p>f(x)＝0，故应选A.</p><p>2．设f(x)＝14x4＋13x3＋12x2在[－1,1]上的最小值为()</p><p>A．0 B．－2</p><p>C．－1D.2023</p><p>[答案]A</p><p>[解析]y＝x3＋x2＋x＝x(x2＋x＋1)</p><p>令y＝0，解得x＝0.</p><p>f(－1)＝512，f(0)＝0，f(1)＝2023</p><p>f(x)在[－1,1]上最小值为0.故应选A.</p><p>3．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为()</p><p>A.2023 B．2</p><p>C．－1 D．－4</p><p>[答案]C</p><p>[解析]y＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)</p><p>令y＝0解得x＝13或x＝－1</p><p>当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；</p><p>当x＝13时，y＝2023；当x＝1时，y＝2.</p><p>所以函数的最小值为－1，故应选C.</p><p>4．函数f(x)＝x2－x＋1在区间[－3,0]上的最值为()</p><p>A．最大值为13，最小值为34</p><p>B．最大值为1，最小值为4</p><p>C．最大值为13，最小值为1</p><p>D．最大值为－1，最小值为－7</p><p>[答案]A</p><p>[解析]∵y＝x2－x＋1，y＝2x－1，</p><p>令y＝0，x＝12，f(－3)＝13，f12＝34，f(0)＝1.</p><p>5．函数y＝x＋1－x在(0,1)上的最大值为()</p><p>A.2 B．1</p><p>C．0 D．不存在</p><p>[答案]A</p><p>[解析]y＝12x－121－x＝121－x－xx1－x</p><p>由y＝0得x＝12，在0，12上y0，在12，1上</p><p>y0.x＝12时y极大＝2，</p><p>又x(0,1)，ymax＝2.</p><p>6．函数f(x)＝x4－4x (|x|1)()</p><p>A．有最大值，无最小值</p><p>B．有最大值，也有最小值</p><p>C．无最大值，有最小值</p><p>D．既无最大值，也无最小值</p><p>[答案]D</p><p>[解析]f(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．</p><p>令f(x)＝0，得x＝1.又x(－1,1)</p><p>该方程无解，</p><p>故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.</p><p>7．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在上的最大值和最小值分别是()</p><p>A．5，－15 B．5,4</p><p>C．－4，－15 D．5，－16</p><p>[答案]A</p><p>[解析]y＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)，</p><p>令y＝0，得x＝2或x＝－1(舍)．</p><p>∵f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，</p><p>ymax＝5，ymin＝－15，故选A.</p><p>8．已知函数y＝－x2－2x＋3在上的最大值为154，则a等于()</p><p>A．－32 B.12</p><p>C．－12 D.12或－32</p><p>[答案]C</p><p>[解析]y＝－2x－2，令y＝0得x＝－1.</p><p>当a－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．</p><p>当－12时，f(x)在上单调递减，</p><p>最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝154，</p><p>解得a＝－12或a＝－32(舍去)．</p><p>9．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是</p><p>()</p><p>A．k－3或－11或k3</p><p>B．－3－1或13</p><p>C．－22</p><p>D．不存在这样的实数</p><p>[答案]B</p><p>[解析]因为y＝3x2－12，由y0得函数的增区间是(－，－2)和(2，＋)，由y0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1k＋1或k－1k＋1，解得－3－1或13，故选B.</p><p>10．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间B</p><p>[解析]∵f(x)＝x3＋ax－2在22</p><p>由y0得x12，由y0得x12.</p><p>此函数在0，12上为减函数，在12，1上为增函数，最小值在x＝12时取得，ymin＝22.</p><p>12．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋)上的最大值________，最小值为________．</p><p>[答案]不存在；－2023</p><p>[解析]f(x)＝－36＋6x＋12x2，</p><p>令f(x)＝0得x1＝－2，x2＝32；当x32时，函数为增函数，当－232时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f(－2)＝57，f32＝－2023，所以最小值为－2023.</p><p>13．若函数f(x)＝xx2＋a(a0)在3－1</p><p>[解析]f(x)＝x2＋a－2x2(x2＋a)2＝a－x2(x2＋a)2</p><p>令f(x)＝0，解得x＝a或x＝－a(舍去)</p><p>当xa时，f(x)0；当0a时，f(x)0；</p><p>当x＝a时，f(x)＝a2a＝33，a＝321，不合题意．</p><p>f(x)max＝f(1)＝11＋a＝33，解得a＝3－1.</p><p>14．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________.</p><p>[答案]32</p><p>[解析]f(x)＝3x2－12</p><p>由f(x)0得x2或x－2，</p><p>由f(x)0得－22.</p><p>f(x)在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在上单调递增．</p><p>又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，</p><p>f(3)＝－1，</p><p>最大值M＝24，最小值m＝－8，</p><p>M－m＝32.</p><p>三、解答题</p><p>15．求下列函数的最值：</p><p>(1)f(x)＝sin2x－x－x2；</p><p>(2)f(x)＝x＋1－x2.</p><p>[解析](1)f(x)＝2cos2x－1.</p><p>令f(x)＝0，得cos2x＝12.</p><p>又x－2，2x[－]，</p><p>2x＝3，x＝6.</p><p>函数f(x)在－2上的两个极值分别为</p><p>f6＝32－6，f－6＝－32＋6.</p><p>又f(x)在区间端点的取值为</p><p>f2＝－2，f－2.</p><p>比较以上函数值可得f(x)max＝2，f(x)min＝－2.</p><p>(2)∵函数f(x)有意义，</p><p>必须满足1－x20，即－11，</p><p>函数f(x)的定义域为[－1,1]．</p><p>f(x)＝1＋12(1－x2)－12(1－x2)＝1－x1－x2 .</p><p>令f(x)＝0，得x＝22 .</p><p>f(x)在[－1,1]上的极值为</p><p>f22＝22＋1－222＝2.</p><p>又f(x)在区间端点的函数值为f(1)＝1，f(－1)＝－1，比较以上函数值可得f(x)max＝2，f(x)min＝－1.</p><p>16．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.求f(x)在区间－34，14上的最大值和最小值．</p><p>[解析]f(x)的定义域为－32，＋.</p><p>f(x)＝2x＋22x＋3＝4x2＋6x＋22x＋3</p><p>＝2(2x＋1)(x＋1)2x＋3.</p><p>当－32－1时，f(x)0；</p><p>当－1－12时，f(x)0；</p><p>当x－12时，f(x)0，</p><p>所以f(x)在－34，14上的最小值为</p><p>f－12＝ln2＋14.</p><p>又f－34－f14＝ln32＋916－ln72－116＝ln37＋12＝121－ln2023，</p><p>所以f(x)在区间－34，14上的最大值为 f14＝ln72＋116.</p><p>17．(2023安徽理，17)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，xR.</p><p>(1)求f(x)的单调区间及极值；</p><p>(2)求证：当aln2－1且x0时，exx2－2ax＋1.</p><p>[分析]本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．</p><p>解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．</p><p>[解析](1)解：由f(x)＝ex－2x＋2a，xR知f(x)＝ex－2，xR.</p><p>令f(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：</p><p>x (－，ln2) ln2 (ln2，＋)</p><p>f(x) － 0 ＋</p><p>f(x) 单调递减 ? 2(1－ln2＋a) 单调递增 ?</p><p>故f(x)的单调递减区间是(－，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋)，</p><p>f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．</p><p>(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，xR，于是g(x)＝ex－2x＋2a，xR.</p><p>由(1)知当aln2－1时，g(x)最小值为g(ln2)＝2(1－ln2＋a)0.</p><p>于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增．</p><p>于是当aln2－1时，对任意x(0，＋)，都有g(x)g(0)．</p><p>而g(0)＝0，从而对任意x(0，＋)，g(x)0.</p><p>即ex－x2＋2ax－10，故exx2－2ax＋1.</p><p>18．已知函数f(x)＝4x2－72－x，x．</p><p>(1)求f(x)的单调区间和值域；</p><p>(2)设a1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x．若对于任意x1，总存在x0，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．</p><p>[解析](1)对函数f(x)求导，得</p><p>f(x)＝－4x2＋16x－7(2－x)2＝－(2x－1)(2x－7)(2－x)2</p><p>令f(x)＝0解得x＝12或x＝72.</p><p>当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：</p><p>x 0 (0，12)</p><p>12</p><p>(12，1)</p><p>1</p><p>f(x) － 0 ＋</p><p>f(x) －72</p><p>? －4 ? －3</p><p>所以，当x(0，12)时，f(x)是减函数；</p><p>当x12，1时，f(x)是增函数．</p><p>当x时，f(x)的值域为[－4，－3]．</p><p>(2)g(x)＝3(x2－a2)．</p><p>因为a1，当x(0,1)时，g(x)0.</p><p>因此当x(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x时有g(x)．</p><p>又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a，即x时有g(x)．</p><p>任给x1，f(x1)[－4，－3]，存在x0使得g(x0)＝f(x1)成立，</p><p>则[－4，－3]．</p><p>即1－2a－3a2－4，①－2a－3.②</p><p>解①式得a1或a－53；解②式得a32.</p><p>又a1，故a的取值范围为132.</p>
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