高中数学基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题（附答
<p>选修2-2 1.2.2 第2课时 基本初等函数的导数公式及导数运算法则</p><p>一、选择题</p><p>1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()</p><p>A．1B．2 </p><p>C．3D．4</p><p>[答案]D</p><p>[解析]y＝[(x＋1)2](x－1)＋(x＋1)2(x－1)</p><p>＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，</p><p>y|x＝1＝4.</p><p>2．若对任意xR，f(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝()</p><p>A．x4 B．x4－2</p><p>C．4x3－5 D．x4＋2</p><p>[答案]B</p><p>[解析]∵f(x)＝4x3.f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1</p><p>1＋c＝－1，c＝－2，f(x)＝x4－2.</p><p>3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(nN*)的前n项和是()</p><p>A.nn＋1 B.n＋2n＋1</p><p>C.nn－1 D.n＋1n</p><p>[答案]A</p><p>[解析]∵f(x)＝xm＋ax的导数为f(x)＝2x＋1，</p><p>m＝2，a＝1，f(x)＝x2＋x，</p><p>即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，</p><p>数列{1f(n)}(nN*)的前n项和为：</p><p>Sn＝112＋123＋134＋…＋1n(n＋1)</p><p>＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1</p><p>＝1－1n＋1＝nn＋1，</p><p>故选A.</p><p>4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()</p><p>A．第一象限 B．第二象限</p><p>C．第三象限 D．第四象限</p><p>[答案]C</p><p>[解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f(x)＝2ax＋b，由于f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a0，b0，则f(x)＝ax＋b2a2－b24a，</p><p>顶点－b2a，－b24a在第三象限，故选C.</p><p>5．函数y＝(2＋x3)2的导数为()</p><p>A．6x5＋12x2 B．4＋2x3</p><p>C．2(2＋x3)2 D．2(2＋x3)3x</p><p>[答案]A</p><p>[解析]∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，</p><p>y＝6x5＋12x2.</p><p>6．(2023江西文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f(1)＝2，则f(－1)＝()</p><p>A．－1 B．－2</p><p>C．2 D．0</p><p>[答案]B</p><p>[解析]本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f(x)＝4ax3＋2bx，f(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f(1)＝4a＋2b，f(－1)＝－f(1)＝－2</p><p>要善于观察，故选B.</p><p>7．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f(1)＝()</p><p>A．0 B．－1</p><p>C．－60 D．60</p><p>[答案]D</p><p>[解析]∵f(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)＝10(1－2x3)9(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，f(1)＝60.</p><p>8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是()</p><p>A．22cos2x－ B．cos2x－sin2x</p><p>C．sin2x＋cos2x D．22cos2x＋4</p><p>[答案]A</p><p>[解析]y＝(sin2x－cos2x)＝(sin2x)－(cos2x)</p><p>＝2cos2x＋2sin2x＝22cos2x－4.</p><p>9．(2023高二潍坊检测)已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()</p><p>A．3 B．2</p><p>C．1 D.12</p><p>[答案]A</p><p>[解析]由f(x)＝x2－3x＝12得x＝3.</p><p>10．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为()</p><p>A．－15 B．0</p><p>C.15 D．5</p><p>[答案]B</p><p>[解析]由题设可知f(x＋5)＝f(x)</p><p>f(x＋5)＝f(x)，f(5)＝f(0)</p><p>又f(－x)＝f(x)，f(－x)(－1)＝f(x)</p><p>即f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0</p><p>故f(5)＝f(0)＝0.故应选B.</p><p>二、填空题</p><p>11．若f(x)＝x，(x)＝1＋sin2x，则f[(x)]＝_______，＝________.</p><p>[答案]2sinx＋4，1＋sin2x</p><p>[解析]f[(x)]＝1＋sin2x＝(sinx＋cosx)2</p><p>＝|sinx＋cosx|＝2sinx＋4.</p><p>＝1＋sin2x.</p><p>12．设函数f(x)＝cos(3x＋)(0＜)，若f(x)＋f(x)是奇函数，则＝________.</p><p>[答案]6</p><p>[解析]f(x)＝－3sin(3x＋)，</p><p>f(x)＋f(x)＝cos(3x＋)－3sin(3x＋)</p><p>＝2sin3x＋＋56.</p><p>若f(x)＋f(x)为奇函数，则f(0)＋f(0)＝0，</p><p>即0＝2sin＋56，＋56＝kZ)．</p><p>又∵(0，)，6.</p><p>13．函数y＝(1＋2x2)8的导数为________．</p><p>[答案]32x(1＋2x2)7</p><p>[解析]令u＝1＋2x2，则y＝u8，</p><p>yx＝yuux＝8u74x＝8(1＋2x2)74x</p><p>＝32x(1＋2x2)7.</p><p>14．函数y＝x1＋x2的导数为________．</p><p>[答案](1＋2x2)1＋x21＋x2</p><p>[解析]y＝(x1＋x2)＝x1＋x2＋x(1＋x2)＝1＋x2＋x21＋x2＝(1＋2x2)1＋x21＋x2.</p><p>三、解答题</p><p>15．求下列函数的导数：</p><p>(1)y＝xsin2x；(2)y＝ln(x＋1＋x2)；</p><p>(3)y＝ex＋1ex－1；(4)y＝x＋cosxx＋sinx.</p><p>[解析](1)y＝(x)sin2x＋x(sin2x)</p><p>＝sin2x＋x2sinx(sinx)＝sin2x＋xsin2x.</p><p>(2)y＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)</p><p>＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2 .</p><p>(3)y＝(ex＋1)(ex－1)－(ex＋1)(ex－1)(ex－1)2＝－2ex(ex－1)2 .</p><p>(4)y＝(x＋cosx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(x＋sinx)(x＋sinx)2</p><p>＝(1－sinx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(1＋cosx)(x＋sinx)2</p><p>＝－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1(x＋sinx)2.</p><p>16．求下列函数的导数：</p><p>(1)y＝cos2(x2－x)； (2)y＝cosxsin3x；</p><p>(3)y＝xloga(x2＋x－1)；(4)y＝log2x－1x＋1.</p><p>[解析](1)y＝</p><p>＝2cos(x2－x)</p><p>＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](x2－x)</p><p>＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](2x－1)</p><p>＝(1－2x)sin2(x2－x)．</p><p>(2)y＝(cosxsin3x)＝(cosx)sin3x＋cosx(sin3x)</p><p>＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.</p><p>(3)y＝loga(x2＋x－1)＋x1x2＋x－1logae(x2＋x－1)＝loga(x2＋x－1)＋2x2＋xx2＋x－1logae.</p><p>(4)y＝x＋1x－1x－1x＋1log2e＝x＋1x－1log2ex＋1－x＋1(x＋1)2</p><p>＝2log2ex2－1.</p><p>17．设f(x)＝2sinx1＋x2，如果f(x)＝2(1＋x2)2g(x)，求g(x)．</p><p>[解析]∵f(x)＝2cosx(1＋x2)－2sinx2x(1＋x2)2</p><p>＝2(1＋x2)2[(1＋x2)cosx－2xsinx]，</p><p>又f(x)＝2(1＋x2)2g(x)．</p><p>g(x)＝(1＋x2)cosx－2xsinx.</p><p>18．求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)</p><p>(1)y＝f1x；(2)y＝f(x2＋1)．</p><p>[解析](1)解法1：设y＝f(u)，u＝1x，则yx＝yuux＝f(u)－1x2＝－1x2f1x.</p><p>解法2：y＝f1x＝f1x1x＝－1x2f1x.</p><p>(2)解法1：设y＝f(u)，u＝v，v＝x2＋1，</p>
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