高中数学余弦定理训练题（有答案）
<p>1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120，则边c的值是()</p><p>A．8 B．217</p><p>C．62 D．219</p><p>解析：选D.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－246cos 120＝76，c＝219.</p><p>2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120，则sin A的值为()</p><p>A.2023 B.217</p><p>C.338 D．－2023</p><p>解析：选A.c2＝a2＋b2－2abcos C</p><p>＝22＋32－223cos 120＝19.</p><p>c＝19.</p><p>由asin A＝csin C得sin A＝2023.</p><p>3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________．</p><p>解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2＋4a2－a222a2a＝78.</p><p>答案：78</p><p>4．在△ABC中，若B＝60，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．</p><p>解：法一：根据余弦定理得</p><p>b2＝a2＋c2－2accos B.</p><p>∵B＝60，2b＝a＋c，</p><p>(a＋c2)2＝a2＋c2－2accos 60，</p><p>整理得(a－c)2＝0，a＝c.</p><p>△ABC是正三角形．</p><p>法二：根据正弦定理，</p><p>2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C.</p><p>又∵B＝60，A＋C＝120，</p><p>C＝120－A，</p><p>2sin 60＝sin A＋sin(120－A)，</p><p>整理得sin(A＋30)＝1，</p><p>A＝60，C＝60.</p><p>△ABC是正三角形．</p><p>课时训练</p><p>一、选择题</p><p>1．在△ABC中，符合余弦定理的是()</p><p>A．c2＝a2＋b2－2abcos C</p><p>B．c2＝a2－b2－2bccos A</p><p>C．b2＝a2－c2－2bccos A</p><p>D．cos C＝a2＋b2＋c22ab</p><p>解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题．</p><p>2．(2023年合肥检测)在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是()</p><p>A.2023 B.513</p><p>C．0 D.23</p><p>解析：选C.∵c＞b＞a，c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝0.</p><p>3．已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是()</p><p>A．锐角三角形 B．钝角三角形</p><p>C．直角三角形 D．不能确定</p><p>解析：选B.∵42＝16＞22＋32＝13，边长为4的边所对的角是钝角，△ABC是钝角三角形．</p><p>4．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为()</p><p>A. B.6</p><p>C.2 D.3或23</p><p>解析：选C.由已知得b2＋c2－a2＝－bc，</p><p>cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，</p><p>又∵0＜A＜，A＝23，故选C.</p><p>5．在△ABC中，下列关系式</p><p>①asin B＝bsin A</p><p>②a＝bcos C＋ccos B</p><p>③a2＋b2－c2＝2abcos C</p><p>④b＝csin A＋asin C</p><p>一定成立的有()</p><p>A．1个 B．2个</p><p>C．3个 D．4个</p><p>解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立．对于②由正弦定理知sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，则不一定成立．</p><p>6．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于()</p><p>A.14 B.34</p><p>C.24 D.23</p><p>解析：选B.∵b2＝ac，c＝2a，</p><p>b2＝2a2，</p><p>cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a22a2a</p><p>＝34.</p><p>二、填空题</p><p>7．在△ABC中，若A＝120，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.</p><p>解析：由余弦定理，</p><p>得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA，</p><p>即49＝25＋AC2－25AC(－12)，</p><p>AC2＋5AC－24＝0.</p><p>AC＝3或AC＝－8(舍去)．</p><p>答案：3</p><p>8．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是________．</p><p>解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42＋52－20232＝21，第三边长是21.</p><p>答案：21</p><p>9．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是________．</p><p>解析：由正弦定理，</p><p>得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8.</p><p>不妨设a＝5k，b＝7k，c＝8k，</p><p>则cos B＝5k2＋8k2－7k225k8k＝12，</p><p>B＝3.</p><p>答案：3</p><p>三、解答题</p><p>10．已知在△ABC中，cos A＝35，a＝4，b＝3，求角C.</p><p>解：A为b，c的夹角，</p><p>由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，</p><p>16＝9＋c2－635c，</p><p>整理得5c2－18c－35＝0.</p><p>解得c＝5或c＝－75(舍)．</p><p>由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝16＋9－20233＝0，</p><p>∵0＜C＜180，C＝90.</p><p>11．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3asin B，求C的大小．</p><p>解：由题意可知，</p><p>(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，</p><p>于是有a2＋2ab＋b2－c2＝3ab，</p><p>即a2＋b2－c22ab＝12，</p><p>所以cos C＝12，所以C＝60.</p><p>12．在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．</p><p>解：由余弦定理知cos B＝a2＋c2－b22ac，代入c＝acos B，</p><p>得c＝aa2＋c2－b22ac，c2＋b2＝a2，</p><p>△ABC是以A为直角的直角三角形．</p><p>又∵b＝asin C，b＝aca，b＝c，</p><p>△ABC也是等腰三角形．</p><p>综上所述，△ABC是等腰直角三角形．</p>
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