高中数学正弦定理测试题(含答案)
<p>1.在△ABC中,A=60,a=43,b=42,则()</p><p>A.B=45或135 B.B=135</p><p>C.B=45 D.以上答案都不对</p><p>解析:选C.sin B=22,∵a>b,B=45.</p><p>2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2,b=6,B=120,则a等于()</p><p>A.6 B.2</p><p>C.3 D.2</p><p>解析:选D.由正弦定理6sin 120=2sin Csin C=12,</p><p>于是C=30A=30a=c=2.</p><p>3.在△ABC中,若tan A=13,C=150,BC=1,则AB=__________.</p><p>解析:在△ABC中,若tan A=13,C=150,</p><p>A为锐角,sin A=110,BC=1,</p><p>则根据正弦定理知AB=BCsin Csin A=102.</p><p>答案:102</p><p>4.已知△ABC中,AD是BAC的平分线,交对边BC于D,求证:BDDC=ABAC.</p><p>证明:如图所示,设ADB=,</p><p>则ADC=-.</p><p>在△ABD中,由正弦定理得:</p><p>BDsin A2=ABsin ,即BDAB=sinA2sin ;①</p><p>在△ACD中,CDsin A2=ACsin-,</p><p>CDAC=sinA2sin .②</p><p>由①②得BDAB=CDAC,</p><p>BDDC=ABAC.</p><p>一、选择题</p><p>1.在△ABC中,a=5,b=3,C=120,则sin A∶sin B的值是()</p><p>A.53 B.35</p><p>C.37 D.57</p><p>解析:选A.根据正弦定理得sin Asin B=ab=53.</p><p>2.在△ABC中,若sin Aa=cos Cc,则C的值为()</p><p>A.30 B.45</p><p>C.60 D.90</p><p>解析:选B.∵sin Aa=cos Cc,sin Acos C=ac,</p><p>又由正弦定理ac=sin Asin C.</p><p>cos C=sin C,即C=45,故选B.</p><p>3.(2023年高考湖北卷)在△ABC中,a=15,b=10,A=60,则cos B=()</p><p>A.-223 B.223</p><p>C.-63 D.63</p><p>解析:选D.由正弦定理得15sin 60=10sin B,</p><p>sin B=10sin 2023=202315=33.</p><p>∵a>b,A=60,B为锐角.</p><p>cos B=1-sin2B=1-332=63.</p><p>4.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是()</p><p>A.锐角三角形 B.直角三角形</p><p>C.钝角三角形 D.等腰三角形</p><p>解析:选B.由题意有asin A=b=bsin B,则sin B=1,即角B为直角,故△ABC是直角三角形.</p><p>5.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知A=3,a=3,b=1,则c=()</p><p>A.1 B.2</p><p>C.3-1 D.3</p><p>解析:选B.由正弦定理asin A=bsin B,可得3sin3=1sin B,</p><p>sin B=12,故B=30或150.</p><p>由a>b,得A>B,B=30.</p><p>故C=90,由勾股定理得c=2.</p><p>6.(2023年天津质检)在△ABC中,如果A=60,c=4,a=4,则此三角形有()</p><p>A.两解 B.一解</p><p>C.无解 D.无穷多解</p><p>解析:选B.因csin A=23<4,且a=c,故有唯一解.</p><p>二、填空题</p><p>7.在△ABC中,已知BC=5,sin C=2sin A,则AB=________.</p><p>解析:AB=sin Csin ABC=2BC=25.</p><p>答案:25</p><p>8.在△ABC中,B=30,C=120,则a∶b∶c=________.</p><p>解析:A=180-30-120=30,</p><p>由正弦定理得:</p><p>a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶3.</p><p>答案:1∶1∶3</p><p>9.(2023年高考北京卷)在△ABC中,若b=1,c=3,C=23,则a=________.</p><p>解析:由正弦定理,有3sin23=1sin B,</p><p>sin B=12.∵C为钝角,</p><p>B必为锐角,B=6,</p><p>A=6.</p><p>a=b=1.</p><p>答案:1</p><p>三、解答题</p><p>10.在△ABC中,已知sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6,且a+b+c=30,求a.</p><p>解:∵sin A∶sin B∶sin C=a2R∶b2R∶c2R=a∶b∶c,</p><p>a∶b∶c=4∶5∶6.a=20235=8.</p><p>11.在△ABC中,角A,B,C所对的三边分别为a,b,c.已知a=5,b=2,B=120,解此三角形.</p><p>解:法一:根据正弦定理asin A=bsin B,得sin A=asin Bb=2023=534>1.所以A不存在,即此三角形无解.</p><p>法二:因为a=5,b=2,B=120,所以A>B=120.所以A+B>240,这与A+B+C=180矛盾.所以此三角形无解.</p><p>法三:因为a=5,b=2,B=120,所以asin B=5sin 120=532,所以b<asin B.又因为若三角形存在,则bsin A=asin B,得b>asin B,所以此三角形无解.</p><p>12.在△ABC中,acos(2-A)=bcos(2-B),判断△ABC的形状.</p><p>解:法一:∵acos(2-A)=bcos(2-B),</p><p>asin A=bsin B.由正弦定理可得:aa2R=bb2R,</p><p>a2=b2,a=b,△ABC为等腰三角形.</p><p>法二:∵acos(2-A)=bcos(2-B),</p><p>asin A=bsin B.由正弦定理可得:</p><p>2Rsin2A=2Rsin2B,即sin A=sin B,</p><p>A=B.(A+B=不合题意舍去)</p><p>故△ABC为等腰三角形.</p>
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