meili 发表于 2022-10-14 16:09:49

高中数学简单的线性规划问题检测试题(带答案)

<p>1.目标函数z=4x+y,将其看成直线方程时,z的几何意义是()</p><p>A.该直线的截距</p><p>B.该直线的纵截距</p><p>C.该直线的横截距</p><p>D.该直线的纵截距的相反数</p><p>解析:选B.把z=4x+y变形为y=-4x+z,则此方程为直线方程的斜截式,所以z为该直线的纵截距.</p><p>2.若x0,y0,且x+y1,则z=x-y的最大值为()</p><p>A.-1 B.1</p><p>C.2 D.-2</p><p>答案:B</p><p>3.若实数x、y满足x+y-20,x4,y5,则s=x+y的最大值为________.</p><p>解析:可行域如图所示,</p><p>作直线y=-x,当平移直线y=-x</p><p>至点A处时,s=x+y取得最大值,即smax=4+5=9.</p><p>答案:9</p><p>4.已知实数x、y满足y-2x.x3</p><p>(1)求不等式组表示的平面区域的面积;</p><p>(2)若目标函数为z=x-2y,求z的最小值.</p><p>解:画出满足不等式组的可行域如图所示:</p><p>(1)易求点A、B的坐标为:A(3,6),B(3,-6),</p><p>所以三角形OAB的面积为:</p><p>S△OAB=20233=18.</p><p>(2)目标函数化为:y=12x-z2,画直线y=12x及其平行线,当此直线经过A时,-z2的值最大,z的值最小,易求A 点坐标为(3,6),所以,z的最小值为3-26=-9.</p><p>一、选择题</p><p>1.z=x-y在2x-y+10x-2y-10 x+y1的线性约束条件下,取得最大值的可行解为()</p><p>A.(0,1) B.(-1,-1)</p><p>C.(1,0) D.(12,12)</p><p>解析:选C.可以验证这四个点均是可行解,当x=0,y=1时,z=-1;当x=-1,y=-1时,z=0;当x=1,y=0时,z=1;当x=12,y=12时,z=0.排除A,B,D.</p><p>2.(2023年高考浙江卷)若实数x,y满足不等式组x+3y-30,2x-y-30,x-y+10,则x+y的最大值为()</p><p>A.9 B.157</p><p>C.1 D.715</p><p>解析:选A.画出可行域如图:</p><p>令z=x+y,可变为y=-x+z,</p><p>作出目标函数线,平移目标函数线,显然过点A时z最大.</p><p>由2x-y-3=0,x-y+1=0,得A(4,5),zmax=4+5=9.</p><p>3.在△ABC中,三顶点分别为A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点P(x,y)在△ABC内部及其边界上运动,则m=y-x的取值范围为()</p><p>A. B.[-3,1]</p><p>C.[-1,3] D.[-3,-1]</p><p>解析:选C.直线m=y-x的斜率k1=1kAB=23,且k1=1<kAC=4,</p><p>直线经过C时m最小,为-1,</p><p>经过B时m最大,为3.</p><p>4.已知点P(x,y)在不等式组x-20y-10x+2y-20表示的平面区域内运动,则z=x-y的取值范围是()</p><p>A.[-2,-1] B.[-2,1]</p><p>C.[-1,2] D.</p><p>解析:选C.先画出满足约束条件的可行域,如图阴影部分,</p><p>∵z=x-y,y=x-z.</p><p>由图知截距-z的范围为[-2,1],z的范围为[-1,2].</p><p>5.设动点坐标(x,y)满足x-y+1x+y-40,x3,y1.则x2+y2的最小值为()</p><p>A.5 B.10</p><p>C.172 D.10</p><p>解析:选D.画出不等式组所对应的平面区域,由图可知当x=3,y=1时,x2+y2的最小值为10.</p><p>6.(2023年高考四川卷)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨,那么该企业可获得的最大利润是() w w w .x k b 1.c o m</p><p>A.12万元 B.20万元</p><p>C.25万元 D.27万元</p><p>解析:选D.设生产甲产品x吨、乙产品y吨,则获得的利润为z=5x+3y.</p><p>由题意得</p><p>x0,y0,3x+y13,2x+3y18,可行域如图阴影所示.</p><p>由图可知当x、y在A点取值时,z取得最大值,此时x=3,y=4,z=53+34=27(万元).</p><p>二、填空题</p><p>7.点P(x,y)满足条件2023,y-x12则P点坐标为________时,z=4-2x+y取最大值________.</p><p>解析:可行域如图所示,新课标第一网</p><p>当y-2x最大时,z最大,此时直线y-2x=z1,过点A(0,1),(z1)max=1,故当点P的坐标为(0,1)时z=4-2x+y取得最大值5.</p><p>答案:(0,1)5</p><p>8.已知点P(x,y)满足条件xx2x+y+k0(k为常数),若x+3y的最大值为8,则k=________.</p><p>解析:作出可行域如图所示:</p><p>作直线l0∶x+3y=0,平移l0知当l0过点A时,x+3y最大,由于A点坐标为(-k3,-k3).-k3-k=8,从而k=-6.</p><p>答案:-6</p><p>9.(2023年高考陕西卷)铁矿石A和B的含铁率a,,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表:</p><p>a b/万吨 c/百万元</p><p>A 50% 1 3</p><p>B 70% 0.5 6</p><p>某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求CO2的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为________(百万元).</p><p>解析:设购买A、B两种铁矿石分别为x万吨、y万吨,购买铁矿石的费用为z百万元,则z=3x+6y.</p><p>由题意可得约束条件为12x+710y1.9,x+12y2,x0,y0.</p><p>作出可行域如图所示:</p><p>由图可知,目标函数z=3x+6y在点A(1,2)处取得最小值,zmin=31+62=15</p><p>答案:15</p><p>三、解答题</p><p>10.设z=2y-2x+4,式中x,y满足条件20232y-x1,求z的最大值和最小值.</p><p>解:作出不等式组20232y-x1的可行域(如图所示).</p><p>令t=2y-2x则z=t+4.</p><p>将t=2y-2x变形得直线l∶y=x+t2.</p><p>则其与y=x平行,平移直线l时t的值随直线l的上移而增大,故当直线l经过可行域上的点A时,t最大,z最大;当直线l经过可行域上的点B时,t最小,z最小.</p><p>zmax=22-20+4=8,</p><p>zmin=21-21+4=4.</p><p>11.已知实数x、y满足约束条件x-ay-102x+y1(aR),目标函数z=x+3y只有当x=1y=0时取得最大值,求a的取值范围.</p><p>解:直线x-ay-1=0过定点(1,0),画出区域2x+y0,x1,让直线x-ay-1=0绕着(1, 0)旋转得到不等式所表示的平面区域.平移直线x+3y=0,观察图象知必须使直线x-ay-1=0的斜率1a>0才满足要求,故a>0.</p><p>12.某家具厂有方木料90 m3 ,五合板600 m2,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3,五合板2 m2;生产每个书橱需要方木料0.2 m3,五合板1 m2,出售一张方桌可获利润80元;出售一个书橱可获利润120元.</p><p>(1)如果只安排生产方桌,可获利润多少?</p><p>(2)如果只安排生产书橱,可获利润多少?</p><p>(3)怎样安排生产可使所获利润最大?</p><p>解:由题意可画表格如下:</p><p>方木料(m3) 五合板(m2) 利润(元)</p><p>书桌(个) 0.1 2 80</p><p>书橱(个) 0.2 1 120</p><p>(1)设只生产书桌x张,可获利润z元,</p><p>则0.1x600xN*900x300xN*300,xN*.</p><p>目标函数为z=80x.</p><p>所以当x=300时,zmax=20230=20230(元),</p><p>即如果只安排生产书桌,最多可生产300张书桌,获得利润20230元.</p><p>(2)设只生产书橱y个,可获利润z元,则</p><p>0.2y202300yN*450y600yN*450,yN*.</p><p>目标函数为z=120y.</p><p>所以当y=450时,zmax=202350=20230(元),</p><p>即如果只安排生产书橱,最多可生产450个书橱,获得利润20230元.</p><p>(3)设生产书桌x张,书橱y个,利润总额为z元,则</p><p>0.1x+0.2y902x+y0,x0,xNx+2y900,2x+y600,x0,y0,且xN,yN.</p><p>目标函数为z= 80x+120y.</p><p>在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域 ,即可行域(图略).</p><p>作直线l∶80x+120y=0,即直线l∶2x+3y=0(图略).</p><p>把直线l向右上方平移,当直线经过可行域上的直线x+2y=900,2x+y=600的交点时,此时z=80x+120y取得最大值.</p><p>由x+2y=2023x+y=600解得交点的坐标为(100,400).</p><p>所以当x=100,y=400时,</p><p>zmax=20230+202300=20230(元).</p><p>因此,生产书桌100张,书橱400个,可使所获利润最大.</p>
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